正则模态

正则模态是某固定频率下随时间变化的无阻尼正弦运动模式。结构保持动态平衡，并经历自由振动。结构的正态模态和固有频率控制其动态响应。

在固体力学中，正则模态和固有频率通常被称为特征模态和特征频率，因为它们根据特征值问题进行计算。要派生特征值问题，考虑常规非线性运动方程的收敛求解：
图 1. EQUATION_DISPLAY
r ( u ) = M u ¨ ( t ) +   f ( u ( t ) , u ˙ ( t ) ) − p ( u ( t ) ) = 0
(4643)

其中， M 为质量矩阵， u ( t ) 、 u ˙ ( t ) 和 u ¨ ( t ) 分别为位移、速度和加速度矢量， f ( u ( t ) , u ˙ ( t ) ) 为内力矢量， p ( u ( t ) ) 为外部载荷矢量。

对于位移 u 的扰动 Δ u ，Eqn. (4643) 变为：

图 2. EQUATION_DISPLAY
r ( u ⁢ + Δ u ) = M [ u ¨ + Δ u ¨ ] + f ( u + Δ u ) − p ( u + Δ u )
(4644)
在 u 中线性化 Eqn. (4644) 可得到：
图 3. EQUATION_DISPLAY
r ( u ⁢ + Δ u ) = M u ¨ + M Δ u ¨ + f ( u , u ˙ ) + ∂ f ∂ u Δ u − p ( u ) − ∂ p ∂ u Δ u
(4645)
其中，速度相关内力 f ( u ˙ ) 被忽略。生成的切线刚度矩阵为：
图 4. EQUATION_DISPLAY
K = ∂ f ∂ u − ∂ p ∂ u
(4646)

其中， ∂ f ∂ u 是由内力（包括几何和材料非线性）计算的刚度， ∂ p ∂ u 是由从动力计算的刚度。

假设一个收敛解（即在 u 时 r ( u ) = 0 ），则在 u + Δ u 的平衡方程变为：
图 5. EQUATION_DISPLAY
M Δ u ¨ + K Δ u = 0
(4647)
假设扰动是自由谐波振荡：
图 6. EQUATION_DISPLAY
Δ u = x k sin ( ω k t )
(4648)
则 Eqn. (4647) 为：
图 7. EQUATION_DISPLAY
( K − ω k 2 M ) x k sin ⁡ ω k t = 0
(4649)
由于 sin ω k t 项对于任意 t 均为非零，Eqn. (4649) 简化为：
图 8. EQUATION_DISPLAY
( K − ω k 2 M ) x k = 0
(4650)
这是正则模态特征值问题。对于正定矩阵 K 和对称矩阵 M ，特征值 λ k = ω k 2 和特征向量 x k 为实数。此外，不同特征值的特征向量 i ≠ j 与质量和刚度矩阵正交：
图 9. EQUATION_DISPLAY
x i T M x j = 0
(4651)
图 10. EQUATION_DISPLAY
x i T K x j = 0
(4652)
如果矩阵 K [ n , n ] 和 M [ n , n ] 有 n 阶，则特征值问题有 k = 1 , ... , n 个不同的特征值和特征向量。特征向量的幅值是任意的，可相对于质量矩阵进行归一化：
图 11. EQUATION_DISPLAY
x k T M x k = 1
(4653)
图 12. EQUATION_DISPLAY
x k T K x k = ω k 2
(4654)
特征值和特征频率定义如下：
图 13. EQUATION_DISPLAY
λ k = ω k 2
(4655)
图 14. EQUATION_DISPLAY
ω k = λ k
(4656)
图 15. EQUATION_DISPLAY
f k = ω k 2 π
(4657)

其中，Eqn. (4655) 为第 k t h 个特征值 ( r a d 2 sec ⁡ 2 )，Eqn. (4656) 为第 k t h 个圆周特征频率 ( r a d sec ⁡ )，Eqn. (4657) 为第 k t h 个特征频率 ( 1 sec ⁡ = H z )。

特征值问题使用 SLEPc 开源库中的 Krylov-Schur 方法求解，并用于计算最小和最大幅值特征值。在大多数瞬态问题中，最低特征频率在结构响应中占主导。较高的特征频率和特征值取决于网格大小，因此不精确。通常，至少需要五个元素来表示具有工程精度特征模态的半正弦波。在冲击问题中，需要较高的特征频率来检查求解的有效性。