正则模态

正则模态是某固定频率下随时间变化的无阻尼正弦运动模式。结构保持动态平衡，并经历自由振动。结构的正态模态和固有频率控制其动态响应。

在固体力学中，正则模态和固有频率通常被称为特征模态和特征频率，因为它们根据特征值问题进行计算。要派生特征值问题，考虑常规非线性运动方程的收敛求解：

图 1. EQUATION_DISPLAY

r (u) = M \ddot{u} (t) + f (u (t), \dot{u} (t)) - p (u (t)) = 0

(4643)

其中， $M$ 为质量矩阵， $u (t)$ 、 $\dot{u} (t)$ 和 $\ddot{u} (t)$ 分别为位移、速度和加速度矢量， $f (u (t), \dot{u} (t))$ 为内力矢量， $p (u (t))$ 为外部载荷矢量。

对于位移 $u$ 的扰动 $Δ u$ ，Eqn. (4643) 变为：

图 2. EQUATION_DISPLAY

r (u + Δ u) = M [\ddot{u} + Δ \ddot{u}] + f (u + Δ u) - p (u + Δ u)

(4644)

在

u

中线性化 Eqn. (4644) 可得到：

图 3. EQUATION_DISPLAY

r (u + Δ u) = M \ddot{u} + M Δ \ddot{u} + f (u, \dot{u}) + \frac{\partial f}{\partial u} Δ u - p (u) - \frac{\partial p}{\partial u} Δ u

(4645)

其中，速度相关内力

f (\dot{u})

被忽略。生成的切线刚度矩阵为：

图 4. EQUATION_DISPLAY

K = \frac{\partial f}{\partial u} - \frac{\partial p}{\partial u}

(4646)

其中， $\frac{\partial f}{\partial u}$ 是由内力（包括几何和材料非线性）计算的刚度， $\frac{\partial p}{\partial u}$ 是由从动力计算的刚度。

假设一个收敛解（即在

u

时

r (u) = 0

），则在

u + Δ u

的平衡方程变为：

图 5. EQUATION_DISPLAY

M Δ \ddot{u} + K Δ u = 0

(4647)

假设扰动是自由谐波振荡：

图 6. EQUATION_DISPLAY

Δ u = x_{k} \sin (ω_{k} t)

(4648)

则 Eqn. (4647) 为：

图 7. EQUATION_DISPLAY

(K - ω_{k}^{2} M) x_{k} \sin ω_{k} t = 0

(4649)

由于

\sin ω_{k} t

项对于任意 t 均为非零，Eqn. (4649) 简化为：

图 8. EQUATION_DISPLAY

(K - ω_{k}^{2} M) x_{k} = 0

(4650)

这是正则模态特征值问题。对于正定矩阵

K

和对称矩阵

M

，特征值

λ_{k} = ω_{k}^{2}

和特征向量

x_{k}

为实数。此外，不同特征值的特征向量

i \neq j

与质量和刚度矩阵正交：

图 9. EQUATION_DISPLAY

x_{i}^{T} M x_{j} = 0

(4651)

图 10. EQUATION_DISPLAY

x_{i}^{T} K x_{j} = 0

(4652)

如果矩阵

K [n, n]

和

M [n, n]

有

n

阶，则特征值问题有

k = 1, ..., n

个不同的特征值和特征向量。特征向量的幅值是任意的，可相对于质量矩阵进行归一化：

图 11. EQUATION_DISPLAY

x_{k}^{T} M x_{k} = 1

(4653)

图 12. EQUATION_DISPLAY

x_{k}^{T} K x_{k} = ω_{k}^{2}

(4654)

特征值和特征频率定义如下：

图 13. EQUATION_DISPLAY

λ_{k} = ω_{k}^{2}

(4655)

图 14. EQUATION_DISPLAY

ω_{k} = \sqrt{λ_{k}}

(4656)

图 15. EQUATION_DISPLAY

f_{k} = \frac{ω_{k}}{2 π}

(4657)

其中，Eqn. (4655) 为第 $k^{t h}$ 个特征值 ( $\frac{{r a d}^{2}}{\sec^{2}}$ )，Eqn. (4656) 为第 $k^{t h}$ 个圆周特征频率 ( $\frac{r a d}{\sec}$ )，Eqn. (4657) 为第 $k^{t h}$ 个特征频率 ( $\frac{1}{\sec} = H z$ )。

特征值问题使用 SLEPc 开源库中的 Krylov-Schur 方法求解，并用于计算最小和最大幅值特征值。在大多数瞬态问题中，最低特征频率在结构响应中占主导。较高的特征频率和特征值取决于网格大小，因此不精确。通常，至少需要五个元素来表示具有工程精度特征模态的半正弦波。在冲击问题中，需要较高的特征频率来检查求解的有效性。