瑞利阻尼

上面章节中提供的公式不考虑时间相关系统中产生的阻尼机制。 阻尼是固体结构中由于材料内分子相互作用等不同现象的组合而产生的能量耗散。

在动态问题中，可通过在运动方程 (Eqn. (4460)) 中包含速度相关的阻尼项 $c\dot{u}$ 来考虑阻尼力的效应：

其假设阻尼力与速度之间存在线性关系。 如上一节中所述，可以构造和离散化弱型 Eqn. (4574)，从而为线性弹性阻尼系统生成一般离散方程：

每个单元中的阻尼矩阵为：

由于阻尼是不同现象的复杂组合，因此通常使用瑞利阻尼粗略估计阻尼矩阵，这可将阻尼矩阵建模为刚度和质量矩阵的线性组合：

可以通过所需模态阻尼因子和无阻尼系统的前两个特征值的知识确定标量系数 ${\tau }_K$ 和 $f_M$。

无阻尼系统的特征值问题为：

其中，${\omega }_i$ 和 $x_i$ 分别为特征值和特征矢量：

由于 $K$ 和 $M$ 为对称矩阵，因此特征矢量为正交。 可根据质量矩阵 $M$ 标准化特征矢量。 求解无阻尼特征值问题 Eqn. (4578) 后，可通过将 Eqn. (4575) 乘以 $X^T$ 解耦阻尼系统的方程：

可以将阻尼系统的求解 $u$ 编写为（无阻尼）特征矢量 $x_i$ 的线性组合：

其中，$g\left(t\right)$ 为广义或模态自由度。 然后，Eqn. (4575) 可简化为对角形式：

其中，广义负载为：

假定与频率成比例的阻尼且采用模态阻尼因子 ${\zeta }_i$，则对角矩阵 $\mathrm{\Gamma }$ 为：

然后，Eqn. (4582) 的每行是：

现在，可通过比较 Eqn. (4585) 与 Eqn. (4577) 中的阻尼项确定瑞利阻尼系数 ${\tau }_K$ 和 $f_M$：

例如，可以为前两个基本特征频率 ${\omega }_1$ 和 ${\omega }_2$ 编写 Eqn. (4586)：

其中，${\tau }_K>0$ 并且 $f_M>0$。

如果为两个频率假定统一模态阻尼因子 $\zeta$，则 ${\tau }_K$ 和 $f_M$ 为：

典型的模态阻尼因子为 $\zeta =0.02$。

一种更简单的方法是通过假定 $f_M=0$ 且 ${\tau }_K>0$ 将瑞利阻尼限定为刚度比例阻尼，并且使用基本特征频率调整该参数：

如果将特征频率 $\omega$ 表示为周期函数 $T$：

${\tau }_K$ 可简化为：

然后，如果为刚度比例阻尼选择时间步 ${\tau }_K=\mathrm{\Delta }t$，则模态阻尼因子为：

当时间步 $\mathrm{\Delta }t=T/100$，并且选择 ${\tau }_K=\mathrm{\Delta }t$ 时，模态阻尼因子给定为：