常见运算

下面的矩阵记数法介绍了标量、矢量和二阶张量（以下简称为张量）之间的最常见运算。在 3D 欧几里德空间中，所有分量均相对于一些基础矢量 ${e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ 来定义。

矢量

乘以标量: 矢量 $a$ 与标量 $α$ 的乘积可定义矢量：; 图 1. EQUATION_DISPLAY

$α a = α (\begin{matrix} {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{1} \\ {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{2} \\ {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} {\begin{matrix} α a \end{matrix}}_{1} \\ {\begin{matrix} α a \end{matrix}}_{2} \\ {\begin{matrix} α a \end{matrix}}_{3} \end{matrix})$
(5190)
两个矢量的总和: 两个矢量 $a$ 和 $b$ 的总和可定义矢量：; 图 2. EQUATION_DISPLAY

$a + b = (\begin{matrix} {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{1} \\ {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{2} \\ {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{3} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{1} + b_{1} \\ {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{2} + b_{2} \\ {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{3} + b_{3} \end{matrix})$
(5191)
两个矢量的标量积: 两个矢量 $a$ 和 $b$ 之间的标量积指 $a$ 的行矢量表示与定义标量的 $b$ 的列矢量表示之间的矩阵积：; 图 3. EQUATION_DISPLAY

$a \cdot b = (\begin{matrix} {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{1} & {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{2} & {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = \begin{matrix} {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{1} \end{matrix} \begin{matrix} b_{1} \end{matrix} + \begin{matrix} {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{2} \end{matrix} \begin{matrix} b_{2} \end{matrix} + \begin{matrix} {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{3} \end{matrix} \begin{matrix} b_{3} \end{matrix}$
(5192); 由于矢量通常以列表示定义，因此标量积通常编写为 $a \cdot b = a^{T} b = b^{T} a$ ，其中， $T$ 表示矩阵转置。列矢量转置后变为行矢量，而行矢量转置后变为列矢量。; 矢量 $a$ 的幅值可以写为：; 图 4. EQUATION_DISPLAY

$| a | = \sqrt{a \cdot a}$
(5193)
两个矢量的矢量积: 两个矢量 $a$ 和 $b$ 之间的矢量积可定义矢量：; 图 5. EQUATION_DISPLAY

$a \times b = (\begin{matrix} {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{2} b_{3} - {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{3} b_{2} \\ {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{3} b_{1} - {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{1} b_{3} \\ {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{1} b_{2} - {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{2} b_{1} \end{matrix})$
(5194); 从形式化行列式获取：; 图 6. EQUATION_DISPLAY

$\det (\begin{matrix} {\begin{matrix} e \end{matrix}}_{1} & {\begin{matrix} e \end{matrix}}_{2} & {\begin{matrix} e \end{matrix}}_{3} \\ {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{1} & {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{2} & {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix})$
(5195)
两个矢量的双积: 两个矢量 $a$ 和 $b$ 之间的双积或张量积可定义张量：; 图 7. EQUATION_DISPLAY

$a b \equiv a \otimes b = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & a_{1} b_{3} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & a_{2} b_{3} \\ a_{3} b_{1} & a_{3} b_{2} & a_{3} b_{3} \end{matrix})$
(5196); 记数法 $a b$ 假设 $a$ 由列矢量表示， $b$ 由行矢量表示。张量积通常编写为 $a b^{T}$ ，其中假设 $a$ 和 $b$ 均由列矢量表示。
标量梯度: 标量梯度 $φ$ 可定义矢量：; 图 8. EQUATION_DISPLAY

$\nabla φ = (\begin{matrix} \frac{\partial φ}{\partial x} \\ \frac{\partial φ}{\partial y} \\ \frac{\partial φ}{\partial z} \end{matrix})$
(5197)
矢量的梯度: 矢量 $a$ 的梯度可定义张量：; 图 9. EQUATION_DISPLAY

$\nabla a = (\begin{matrix} \frac{\partial a_{1}}{\partial x} & \frac{\partial a_{1}}{\partial y} & \frac{\partial a_{1}}{\partial z} \\ \frac{\partial a_{2}}{\partial x} & \frac{\partial a_{2}}{\partial y} & \frac{\partial a_{2}}{\partial z} \\ \frac{\partial a_{3}}{\partial x} & \frac{\partial a_{3}}{\partial y} & \frac{\partial a_{3}}{\partial z} \end{matrix})$
(5198)
矢量的发散: 矢量 $a$ 的发散可定义标量：; 图 10. EQUATION_DISPLAY

$\nabla\cdot a = \begin{matrix} \frac{\partial a_{1}}{\partial x} \end{matrix} + \begin{matrix} \frac{\partial a_{2}}{\partial y} \end{matrix} + \begin{matrix} \frac{\partial a_{3}}{\partial z} \end{matrix}$
(5199)
矢量的旋度: 矢量 $a$ 的旋度可定义矢量：; 图 11. EQUATION_DISPLAY

$\nabla\times a = (\begin{matrix} \frac{\partial {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{3}}{\partial y} - \frac{\partial {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{2}}{\partial z} \\ \frac{\partial {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{1}}{\partial z} - \frac{\partial {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{3}}{\partial x} \\ \frac{\partial {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{2}}{\partial x} - \frac{\partial {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{1}}{\partial y} \end{matrix})$
(5200); 从形式化行列式获取：; 图 12. EQUATION_DISPLAY

$\det (\begin{matrix} {\begin{matrix} e \end{matrix}}_{1} & {\begin{matrix} e \end{matrix}}_{2} & {\begin{matrix} e \end{matrix}}_{3} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix})$
(5201)

张量

乘以标量

张量

A

与标量

α

的乘积可定义张量：

图 13. EQUATION_DISPLAY

α A = α (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix}) = (\begin{matrix} {αA}_{11} & {αA}_{12} & {αA}_{13} \\ {αA}_{21} & {αA}_{22} & {αA}_{23} \\ {αA}_{31} & {αA}_{32} & {αA}_{33} \end{matrix})

(5202)

两个张量的总和

两个张量

A

和

B

的总和可定义张量：

图 14. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} A + B & = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix}) + (\begin{matrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} \\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\ B_{31} & B_{32} & B_{33} \end{matrix}) = \\ = (\begin{matrix} A_{11} + B_{11} & A_{12} + B_{12} & A_{13} + B_{13} \\ A_{21} + B_{21} & A_{22} + B_{22} & A_{23} + B_{23} \\ A_{31} + B_{31} & A_{32} + B_{32} & A_{33} + B_{33} \end{matrix}) \end{matrix}

(5203)

张量与矢量的乘积

张量

A

与矢量

b

的乘积可定义矢量：

图 15. EQUATION_DISPLAY

A b \equiv A \cdot b = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix}) (\begin{matrix} {\begin{matrix} b \end{matrix}}_{1} \\ {\begin{matrix} b \end{matrix}}_{2} \\ {\begin{matrix} b \end{matrix}}_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} A_{11} {\begin{matrix} b \end{matrix}}_{1} + A_{12} {\begin{matrix} b \end{matrix}}_{2} + A_{13} {\begin{matrix} b \end{matrix}}_{3} \\ {\begin{matrix} A_{21} {\begin{matrix} b \end{matrix}}_{1} + A_{22} {\begin{matrix} b \end{matrix}}_{2} + A_{23} b \end{matrix}}_{3} \\ A_{31} {\begin{matrix} b \end{matrix}}_{1} + A_{32} {\begin{matrix} b \end{matrix}}_{2} + A_{33} {\begin{matrix} b \end{matrix}}_{3} \end{matrix})

(5204)

因此，张量可定义矢量之间的线性转换。

两个张量的乘积

两个张量

A

和

B

的乘积可定义张量：

图 16. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} A B & \equiv A \cdot B = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix}) (\begin{matrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} \\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\ B_{31} & B_{32} & B_{33} \end{matrix}) = \\ = (\begin{matrix} A_{11} B_{11} + A_{12} B_{21} + A_{13} B_{31} & A_{11} B_{12} + A_{12} B_{22} + A_{13} B_{32} & A_{11} B_{13} + A_{12} B_{23} + A_{13} B_{33} \\ A_{21} B_{11} + A_{22} B_{21} + A_{23} B_{31} & A_{21} B_{12} + A_{22} B_{22} + A_{23} B_{32} & A_{21} B_{13} + A_{22} B_{23} + A_{23} B_{33} \\ A_{31} B_{11} + A_{32} B_{21} + A_{33} B_{31} & A_{31} B_{12} + A_{32} B_{22} + A_{33} B_{32} & A_{31} B_{13} + A_{32} B_{23} + A_{33} B_{33} \end{matrix}) \end{matrix}

(5205)

因此，张量还可定义张量之间的线性转换。

两个张量的内积

两个张量

A

和

B

的内积或双点积可定义标量：

图 17. EQUATION_DISPLAY

A : B = A_{11} B_{11} + A_{12} B_{12} + A_{13} B_{13} + ...

(5206)

或者，采用指数记数法时：

图 18. EQUATION_DISPLAY

A : B = A_{ij} B_{ij}

(5207)

内积为张量不变量，因为其值在基变化时保持不变。

张量的发散

张量

A

的发散可定义矢量：

图 19. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} \nabla\cdot A = (\begin{matrix} \frac{\partial A_{11}}{\partial x} + \frac{\partial A_{21}}{\partial y} + \frac{\partial A_{31}}{\partial z} \\ \frac{\partial A_{12}}{\partial x} + \frac{\partial A_{22}}{\partial y} + \frac{\partial A_{32}}{\partial z} \\ \frac{\partial A_{13}}{\partial x} + \frac{\partial A_{23}}{\partial y} + \frac{\partial A_{33}}{\partial z} \end{matrix})^{T} \end{matrix}

(5208)

张量的特征值和特征矢量

假定有张量

A

，则满足以下关系的标量

λ_{i}

和矢量

v_{i}

：

图 20. EQUATION_DISPLAY

(A - λ_{i} I) v_{i} = 0

(5209)

分别称为

A

的特征值和特征矢量。通过对特征方程求解，可确定这三个特征值：

图 21. EQUATION_DISPLAY

\det (A - λ_{i} I) = 0

(5210)

张量的逆变换

Eqn. (5204) 和 Eqn. (5205) 将张量定义为矢量之间或张量之间的线性转换。假定有张量

A

，则逆变换

A^{- 1}

定义如下：

图 22. EQUATION_DISPLAY

A^{- 1} A = I

(5211)

其中，

I

为单位张量：

图 23. EQUATION_DISPLAY

I = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

(5212)

当且仅当

\det (A) \neq 0

时，逆向张量

A^{- 1}

才成立，其中：

图 24. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} \det (A) & = \det (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix}) = \\ \begin{matrix} {= A}_{11} \end{matrix} (\begin{matrix} A_{22} A_{33} - A_{23} A_{32} \end{matrix}) + A_{12} (\begin{matrix} A_{23} A_{31} - A_{21} A_{33} \end{matrix}) + A_{13} (\begin{matrix} A_{21} A_{32} - A_{31} A_{22} \end{matrix}) \end{matrix}

(5213)

对称

当

A = A^{T}

时，张量

A

称为对称张量，即：

图 25. EQUATION_DISPLAY

(\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix}) = (\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{matrix})

(5214)

张量不变量

假定有张量

A

，则可定义三个独立不变量，即，在坐标系变化时保持不变的标量：

图 26. EQUATION_DISPLAY

I_{0} = t r (A) = A_{11} + A_{22} + A_{33} = A_{i i}

(5215)

图 27. EQUATION_DISPLAY

I_{1} = [tr {(A)}^{2} - tr (A^{2})] / 2

(5216)

图 28. EQUATION_DISPLAY

I_{2} = \det (A)

(5217)

不变量

I_{0}

称为张量

A

的痕量。

张量范数

假定量纲

m \times n

的张量为

A

，可以通过各种方式定义其范数：

无穷范数: $A$ 的行总和最大绝对值：
图 29. EQUATION_DISPLAY

$‖ A ‖_{\infty} = \max_{1 \leq j \leq m} \sum_{i = 1}^{n} | A_{i j} |$
(5218)
1-范数: $A$ 的列总和最大绝对值：
图 30. EQUATION_DISPLAY

$‖ A ‖_{1} = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i = 1}^{m} | A_{i j} |$
(5219)
2-范数: 图 31. EQUATION_DISPLAY

$‖ A ‖_{2} = \max_{o \leq i \leq 3} | λ_{i} |$
(5220)
弗罗贝尼乌斯范数: 图 32. EQUATION_DISPLAY

$‖ A ‖_{F} = \sqrt{t r (A^{2})}$
(5221)