位移

应用的负载可导致固体结构产生从初始配置到变形配置的位移。 总位移由刚体运动和体中各点的相对位移(决定固体结构的变形)共同组成。



如果未变形配置中材料点的位置为 X ,且此点相对于变形配置的位移为 u(X,t) ,则该材料点在变形配置中的位置为:

图 1. EQUATION_DISPLAY
x(X,t)=X+u(X,t)
(4426)

采用分量形式,位移可以表示为:

图 2. EQUATION_DISPLAY
u={uxuyuz}T
(4427)

刚体的位移场完全由单个位移矢量定义。 可变形体的位移场由其材料点的位移矢量集定义。

变形梯度

变形梯度张量 F 用于衡量点到点的变形如何发生:

图 3. EQUATION_DISPLAY
F=∂x∂X=I+∂u∂X=I+(∂ux∂X∂ux∂Y∂ux∂Z∂uy∂X∂uy∂Y∂uy∂Z∂uz∂X∂uz∂Y∂uz∂Z)
(4428)

其中, I 为单位矩阵, X 、 Y , 和 Z 为材料点位置矢量 X 的笛卡尔分量。

对于大变形,变形梯度可以分解为旋转张量 R 和右伸长张量 U :
图 4. EQUATION_DISPLAY
F=RU
(4429)

对于不可压缩和几乎不可压缩的材料,变形梯度可以分解为体积部分 Fv 和偏离部分 Fd :

图 5. EQUATION_DISPLAY
F=FvFd
(4430)

且:

图 6. EQUATION_DISPLAY
Fd=J−1/3FFv=J1/3IJ=det⁡F
(4431)