线性弹性材料

线性弹性材料的扩展与应用的负载成比例，并在负载移除时恢复到原始配置。 线性弹性材料的应力应变关系为线性关系，由胡克定律给出。

以下公式仅适用于泊松比 $\nu \le 0.45$ 的材料。 对于 $\nu \to 0.5$，材料被视为不可压缩，需要使用双场公式（请参见几乎不可压缩的材料）。

线性弹性假设适用于小应变，假定应力应变关系的形式如下：

其中，$D$ 称为材料正切，${\epsilon }_T$ 为热应变（请参见 Eqn. (4452)），$\sigma$ 和 $\epsilon$ 为能量共轭应力应变对（柯西应力和欧拉-阿尔曼西应变，或第二皮奥拉-基尔霍夫应力和格林-拉格朗日应变。 请参见能量共轭应力应变对）。

各向异性材料

在大多数情况下，材料在不同的方向上具有不同的材料属性。 具有此特性的材料称为各向异性材料。

在 Voigt 表示法中，可以方便地表示 Eqn. (4503)。 对于对称张量，Voigt 表示法十分便捷，因为它通过仅指定其独立分量来降低张量阶次。 例如，二阶对称张量可以表示为 6 维矢量。 在 Voigt 表示法中，Eqn. (4503) 中的张量可以写为：

$$\begin{array}{cccc}\sigma =\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{33}\\ {\sigma }_{12}\\ {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{13}\end{array}\right);& D=\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}& c_{14}& c_{15}& c_{16}\\ & c_{22}& c_{23}& c_{24}& c_{25}& c_{26}\\ & & c_{33}& c_{34}& c_{35}& c_{36}\\ & & & c_{44}& c_{45}& c_{46}\\ & & & & c_{55}& c_{56}\\ & & & & & c_{66}\end{array}\right);& \epsilon =\left(\begin{array}{l}{\epsilon }_{11}\hfill \\ {\epsilon }_{22}\hfill \\ {\epsilon }_{33}\hfill \\ 2{\epsilon }_{12}\hfill \\ 2{\epsilon }_{23}\hfill \\ 2{\epsilon }_{13}\hfill \end{array}\right);& \alpha =\left(\begin{array}{c}{\alpha }_{11}\\ {\alpha }_{22}\\ {\alpha }_{33}\\ 2{\alpha }_{12}\\ 2{\alpha }_{23}\\ 2{\alpha }_{13}\end{array}\right)\end{array}$$

(4504)

$\epsilon$ 的剪切分量中的因子 2 可确保由于应力引起的应变能变化 (Eqn. (4453)) 在张量表示法和 Voigt 表示法中保持不变。 应变剪切分量 ${\gamma }_{xy}=2{\epsilon }_{xy}$ 、 ${\gamma }_{yz}=2{\epsilon }_{yz}$ 和 ${\gamma }_{xz}=2{\epsilon }_{xz}$ 也称为工程剪切应变。 材料相切 $D$ 对称，含 21 个独立参数 $c_{ij}$。 由于 $D$ 对称（即 $c_{ij}=c_{ji}$），因此该矩阵的下半部分将会忽略。

正交各向异性材料

在三个相互正交的方向上具有独立属性的材料称为正交各向异性材料。 具体地说，材料属性沿每个轴均为常数，但独立于沿其他轴的值。 对于正交各向异性材料，材料相切 $D$ 将减少至：

$$D=\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}& 0& 0& 0\\ & c_{22}& c_{23}& 0& 0& 0\\ & & c_{33}& 0& 0& 0\\ & & & {\begin{array}{c}G\end{array}}_{12}& 0& 0\\ & & & & {\begin{array}{c}G\end{array}}_{23}& 0\\ & & & & & {\begin{array}{c}G\end{array}}_{13}\end{array}\right)$$

(4505)

因此，正交各向异性材料的材料正切系数可以根据九个独立常数完全定义：

$$\begin{array}{ll}{E}_1,E_2,E_3& \mathrm{Young\text{'}s\; Moduli}\\ {\nu }_{12},{\nu }_{23},{\nu }_{13}& \mathrm{Poisson\; Ratios}\\ G_{12},G_{23},G_{13}& \mathrm{Shear\; Moduli}\end{array}$$

(4506)

由于：

$$\begin{array}{l}{c}_{11}=\frac{1-{\nu }_{23}{\nu }_{32}}{E_2{E}_3\Delta }\\ c_{22}=\frac{1-{\nu }_{31}{\nu }_{13}}{E_3{E}_1\Delta }\\ c_{33}=\frac{1-{\nu }_{12}{\nu }_{21}}{E_1{E}_2\Delta }\\ c_{12}=c_{21}=\frac{1}{E_2{E}_3\Delta }({\nu }_{21}+{\nu }_{31}{\nu }_{23})\\ c_{13}=c_{31}=\frac{1}{E_2{E}_3\Delta }({\nu }_{31}+{\nu }_{21}{\nu }_{32})\\ c_{23}=c_{32}=\frac{1}{E_1{E}_3\Delta }({\nu }_{32}+{\nu }_{31}{\nu }_{12})\end{array}$$

(4507)

其中：

$$\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}{\nu }_{21}={\nu }_{12}\frac{E_2}{E_1};& {\nu }_{32}={\nu }_{23}\frac{E_3}{E_2};& {\nu }_{31}={\nu }_{13}\frac{E_3}{E_1}\end{array}\end{array}$$

(4508)

和

$$\begin{array}{c}\Delta =\frac{1-2{\nu }_{13}{\nu }_{21}{\nu }_{32}-{\nu }_{13}{\nu }_{31}-{\nu }_{23}{\nu }_{32}-{\nu }_{12}{\nu }_{21}}{E_1{E}_2{E}_3}\end{array}$$

(4509)

对于正交各向异性材料，热膨胀系数矢量 $\alpha$ 减少至：

$$\begin{array}{c}\alpha =\left(\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\alpha \end{array}}_{11}\\ {\begin{array}{c}\alpha \end{array}}_{22}\\ {\begin{array}{c}\alpha \end{array}}_{33}\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$

(4510)

各向同性材料

在所有方向上具有相同属性的材料称为各向同性材料。 对于各向同性材料，材料相切 $D$ 将减少至：

$$D=\left(\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{12}& 0& 0& 0\\ & c_{11}& c_{12}& 0& 0& 0\\ & & c_{11}& 0& 0& 0\\ & & & G& 0& 0\\ & & & & G& 0\\ & & & & & G\end{array}\right)$$

(4511)

且：

$$\begin{array}{l}{c}_{11}=\frac{4}{3}G+K\\ c_{12}=-\frac{2}{3}G+K\end{array}$$

(4512)

即，各向同性材料的材料正切系数可以根据 $G$ 和 $K$ 这两个独立常数（称为剪切模量和体积模量）完全定义。 根据以下方程，这些常数与杨氏模量 $E$ 和泊松比 $\nu$ 相关：

$$\begin{array}{c}G=\frac{E}{2\left(1+\nu \right)}\\ K=\frac{E}{3\left(1-2\nu \right)}\end{array}$$

(4513)

对于各向同性材料，热膨胀系数矢量 $\alpha$ 将减少至：

$$\begin{array}{c}\alpha =\alpha \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$

(4514)