时间-温度叠加

时间-温度叠加概念可用于根据参考温度下的已知粘度确定聚合物流体的温度相关粘度。

时间-温度叠加 (TTS) 是一个经验性工具，其通过将数个温度下收集的线性粘弹性结果转换为常用参考温度来描述大范围的频率内聚合物的粘弹性行为 [168]。此方法使用两个温度相关转换因子生成用于展示几十年的时间（频率）内聚合物行为的“主曲线”，其中一个转换因子用于应力（垂直转换因子），另一个用于时间或频率（水平转换因子）。

时间-温度叠加概念可以视为使参考温度下的聚合物属性与另一温度 $T$ 下的聚合物属性相关联的方程：

图 1. EQUATION_DISPLAY

b_{T} G (T, ω a_{T}) = G (T_{0}, ω)

(731)

其中：

$G$ 为聚合物模量。
$a_{T}$ 和 $b_{T}$ 分别为水平和垂直转换因子。
$ω$ 为角频率。
$T_{0}$ 为参考温度。

另一方面，根据以下公式，涵盖应力和时间的聚合物粘度 $μ$ 需要水平和垂直温度转换：

μ (T) = \frac{a_{T}}{b_{T}} μ (T_{0})

如果流体为非等温，则可以使用水平转换因子 $a_{T}$ 和垂直转换因子 $b_{T}$ 解释粘度的温度依赖性。

水平转换因子

a_{T}

定义为：

图 2. EQUATION_DISPLAY

a_{T} = \frac{μ_{T}}{μ_{T_{0}}}

(732)

其中，

μ_{T}

和

μ_{T_{0}}

为温度

T

和

T_{0}

下的粘度。如果模拟为等温或粘度为恒定，则

a_{T} = 1

。

阿雷尼乌斯

图 3. EQUATION_DISPLAY

\log (a_{T}) = \frac{E_{a}}{R} (\frac{1}{T} - \frac{1}{T_{0}})

(733)

其中：

$E_{a}$ 为活化能。
$R$ 为通用气体常数。
$T_{0}$ 为参考温度（以 K 为单位）。

Nahme

图 4. EQUATION_DISPLAY

\log (a_{T}) = - \frac{E_{a}}{R T_{0}^{2}} (T - T_{0})

(734)

Williams-Landel-Ferry (WLF)

图 5. EQUATION_DISPLAY

\log (a_{T}) = \frac{{- C}_{1} (T - T_{0})}{C_{2} + (T - T_{0})}

(735)

其中，

C_{1}

和

C_{2}

是基于材料和参考温度的正的常数。如果参考温度用作玻璃化转变温度

T_{g}

，则

C_{1}

和

C_{2}

对于给定材料通用，并且域的温度必须高于参考温度。对于任何聚合物，近似值如下：

C_{1} \approx 15 ° C

，

C_{2} \approx 50 ° C

。

垂直转换因子

可以根据 Rouse 方法计算垂直转换因子 $b_{T}$ ：

图 6. EQUATION_DISPLAY

b_{T} = \frac{T_{0}}{T}

(736)

其中， $T$ 和 $T_{0}$ 分别为给定温度和参考温度。如果模拟为等温或粘度为恒定，则 $b_{T} = 1$ 。

牛顿液体

对于非等温模拟，转换因子修改粘度，如下所示：

图 7. EQUATION_DISPLAY

μ (T) = \frac{a_{T}}{b_{T}} μ_{r e f}

(737)

其中， $μ_{r e f}$ 为用户指定的参考粘度。

广义牛顿流体

幂次定律

用于描述剪切速率相关粘度行为的最简单模型为幂次定律。

幂次定律指数 $n$ 的值决定了流体的类别：

图 8. EQUATION_DISPLAY

μ (\dot{γ}, T) = \frac{a_{T}}{b_{T}} \cdot k {(a_{T} \dot{γ})}^{n - 1}

(738)

$n = 1 \Rightarrow$ 牛顿流体
$n > 1 \Rightarrow$ 剪切稠化（膨胀）流体
$n < 1 \Rightarrow$ 剪切稀化（伪塑性）流体

交叉流体

从 [161] 获得的交叉流体定义如下：

图 9. EQUATION_DISPLAY

μ (\dot{γ}, T) = \frac{a_{T}}{b_{T}} (μ_{\infty} + \frac{μ_{0} - μ_{\infty}}{1 + {(\frac{a_{T} \dot{γ}}{{\dot{γ}}_{c}})}^{m}})

(739)

其中：

$m$ 为交叉率常数
$μ_{0}$ 为零剪切粘度，即牛顿平台处的粘度
$μ_{\infty}$ 为无限剪切粘度
$\dot{γ_{c}}$ 为剪切稀化开始的临界剪切应变率

当 $m = 0$ 时，将重新获得牛顿行为。随着 $m$ 逐渐增加接近 1，剪切稀化的程度逐渐变强。

Carreau-Yasuda 流体

针对粘度的非牛顿广义 Carreau-Yasuda 流体源自 [158] 和 [219]。定义如下：

图 10. EQUATION_DISPLAY

μ (\dot{γ}, T) = \frac{a_{T}}{b_{T}} (μ_{\infty} + (μ_{0} - μ_{\infty}) {(1 + {(λ a_{T} \dot{γ})}^{a})}^{(n - 1) / a})

(740)

其中：

$n$ 次幂常数
$λ$ 松弛时间常数
$a$ 用于控制剪切稀化的参数。当 $a = 2$ 时，可重新获得原始 Carreau 模型。

粘塑性流体

Herschel-Bulkley: 采用时间-温度叠加的 Herschel-Bulkley 模型基于 Eqn. (705)。
图 11. EQUATION_DISPLAY

$μ (\dot{γ}, T) = {\begin{matrix} \frac{a_{T}}{b_{T}} \cdot μ_{0} & , if & \dot{γ} < \frac{τ_{0}}{μ_{0}} \\ \frac{a_{T}}{b_{T}} \cdot \frac{τ_{0} + k {[a_{T} (\dot{γ} - \frac{τ_{0}}{μ_{0}})]}^{n}}{a_{T} \dot{γ}} & , if & \dot{γ} > \frac{τ_{0}}{μ_{0}} \end{matrix}$

(741)

粘弹性流体

对于粘弹性流体，Eqn. (711) 到 Eqn. (720) 中的聚合物粘度 $μ_{0}$ 和松弛时间常数 $λ$ 为温度的函数，与温度转换因子 $a_{T}$ 和 $b_{T}$ 成比例：

图 12. EQUATION_DISPLAY

μ (T) = \frac{a_{T}}{b_{T}} μ_{0}

(742)

图 13. EQUATION_DISPLAY

λ (T) = a_{T} λ

(743)

图 14. EQUATION_DISPLAY

G (T) = \frac{G}{b_{T}}

(744)