粘弹性流体

粘弹性流体指表现出流体的粘性行为和固体的弹性行为的材料。

粘弹性流体可以具有在性质上与牛顿流体流不同的现象。这些流体现象是粘弹性流体内存在的法向应力导致的。此类众所周知的效应有：

Weissenberg 效应或爬杆效应。考虑旋转杆的末端浸入粘弹性流体（例如制面包的生面团）中。杆的旋转生成弹力，随后拉伸流体。此拉伸会导致正的法向力，因此流体会沿杆上升。相比之下，在牛顿液体中，惯性力占主导，因此流体将离开杆。在工业混合过程中，Weissenberg 效应至关重要。
离模膨胀或挤出膨胀。考虑聚合物液体通过模具挤出。离模时，粘弹性流体将膨胀，即其形状和体积都增大。此现象与管内流体的法向应力有关。流体离模时，这些法向应力将得到释放，射流将沿横向扩张。

粘弹性流体建模需要表示应力张量和速度场之间关系的复杂本构方程。Simcenter STAR-CCM+ 提供了多个不同类型的非线性粘弹性模型。张量分量的本构方程组成了一个非线性偏微分方程组，该方程组使用有限元方法离散，并使用直接求解器（粘性流求解器）求解。

粘性流求解器假设速度和应力在入口和出口处充分发展。对于内部流，充分发展的速度意味着所有速度矢量相互平行并垂直于入口和出口横截面。充分发展的应力意味着将基于满足入口或出口处速度充分发展的条件来计算各应力分量。在这些条件下，横截面均匀的管或通道中的速度和应力分量与流动方向无关。注意，对于第二法向应力差非零的三维粘弹性流体流，此最后一个条件无法满足，因为有二次流形成。

对于 3D 流体，第二个法向应力的存在使管道中产生二次运动。流线将不再完全平行，流体获得第三个方向的速度，且没有充分发展流。因此，充分发展的条件与具有第二个法向应力的粘弹性模型的三维流体不相关。对于具有周期条件的三维流体，也是如此。

可在不同的模式下使用 Oldroyd-B 模型、Phan-Thien-Tanner 模型和 Giesekus 模型，以精确拟合松弛模量以及预测剪切稀化、法向应力和拉伸粘度。所有这些模型的应力均分为聚合物（粘弹性）部分 $T^{p}$ 和牛顿溶剂部分 $T^{s}$ ：

图 1. EQUATION_DISPLAY

T = T^{s} + T^{p}

(706)

其中：

图 2. EQUATION_DISPLAY

T^{s} = 2 μ_{s} D, T^{p} = \sum_{i = 1}^{n} T_{i}

(707)

$μ_{s}$ 为溶剂粘度。 $μ_{s}$ 可以为常数或取决于剪切速率。可以应用 Eqn. (701) 到 Eqn. (703) 的任意剪切速率相关粘度函数。
$D$ 为溶剂粘度变形率张量；请参见 Eqn. (695)。
$T_{i}$ 为第 $i$ 模式的应力张量，如选定模型定义。
$n$ 为模式数。

为了提供相对于系统中的局部剪切速率的粘弹性材料剪切热阻估计值，引入了粘弹性等效粘度：

图 3. EQUATION_DISPLAY

μ_{e q u i v} = \frac{{I I}_{T}}{{I I}_{D}} = \frac{{(t r [T])}^{2} - t r (T^{2})}{{(t r [D])}^{2} - t r (D^{2})}

(708)

总粘度由以下公式给出：

图 4. EQUATION_DISPLAY

μ_{t o t a l} {= μ}_{s} + μ_{e q u i v}

(709)

默认情况下，不同的模型以应力张量 $T$ 表示。要在具有高 Weissenberg 数的模拟中提高计算稳定性，可以通过以下方程，使用与 $T$ 有关的共形张量 $C = B^{T} \cdot B$ 的唯一对称正定平方根 $B$ ：

图 5. EQUATION_DISPLAY

T = G (B^{T} \cdot B - I)

(710)

其中， $G$ 为剪切模量，而 $I$ 为单位张量。理论上，共形张量 $C$ 是对称的正定张量。但是，在数值模拟中，共形张量不是精确的正定，事实上，高 Weissenberg 值的数值不稳定性的开始与共形张量的正定损失相关联 [165]。平方根公式的优势在于，在模拟中始终保证了共形张量的正定性，因此在高 Weissenberg 数模拟过程中展现了极高的数值稳定性。

此共形形式还使用反对称矩阵 $A$ 确保平方根共形张量 $B$ 在空间和时间中保持对称的正定点。 $A$ 的分量可根据 [150] 文献中所述的表达式获取。

Oldroyd-B 模型

Oldroyd-B 模型 [199] 主要用于描述在低浓度和中等剪切速率条件下形成的聚合物液体的流变特性。

可将 Oldroyd-B 模型视为聚合物部分 $T_{i}$ 和牛顿溶剂贡献 $T^{s}$ 的上部对流 Maxwell 模型应力的线性叠加。

图 6. EQUATION_DISPLAY

T_{i} + λ \overset{▿}{T_{i}} = 2 μ_{0} D

(711)

其中：

$\overset{▿}{T}$ 为应力张量 $T$ 的上部对流导数：
图 7. EQUATION_DISPLAY

$\overset{▿}{T} = \frac{\partial}{\partial t} T + v \cdot \nabla T - {(\nabla v)}^{T} \cdot T - T \cdot \nabla v$

(712)
$μ_{0}$ 为零剪切速率（模型）动力粘度。
$λ$ 为（模态）松弛时间。

Oldroyd-B 模型的平方根共形形式为：

图 8. EQUATION_DISPLAY

λ (\frac{\partial B}{\partial t} + v \cdot \nabla B - B \cdot \nabla v - A B) + \frac{1}{2} [B - {(B^{T})}^{- 1}] = 0

(713)

线性 Phan-Thien-Tanner 模型

图 9. EQUATION_DISPLAY

[1 + \frac{ϵ λ}{μ_{0}} t r (T_{i})] T_{i} + λ [\overset{▿}{T_{i}} + ξ (T_{i} \cdot D + D \cdot T_{i})] = 2 μ_{0} D

(714)

其中， $ϵ$ 为 Phan-Thien-Tanner 参数， $ξ$ 为模型参数（给出应力张量的上部对流和下部对流导数的组合）， $0 \leq ξ \leq 2$ 。

当 $ϵ$ 等于零时，该模型简化为 Johnson-Segalman 模型：

T_{i} + λ [\overset{▿}{T_{i}} + ξ (T_{i} \cdot D + D \cdot T_{i})] = 2 μ_{0} D

线性 Phan-Thien-Tanner 模型的平方根共形形式为：

图 10. EQUATION_DISPLAY

λ (\frac{\partial B}{\partial t} + v \cdot \nabla B - B \cdot \nabla v - A B) + \frac{1 + ϵ (tr [B^{T} \cdot B] - 3)}{2} (B - {[B^{T}]}^{- 1}) = 0

(715)

仅当 $ξ = 0$ 时，线性 Phan-Thien-Tanner 本构方程与平方根共形形式兼容。如果 $ξ \neq 0$ ，则使用 $T$ 公式。

指数 Phan-Thien Tanner 模型

图 11. EQUATION_DISPLAY

[\exp (\frac{ϵ λ}{μ_{0}} t r (T_{i}))] T_{i} + λ [\overset{▿}{T_{i}} + ξ (T_{i} \cdot D + D \cdot T_{i})] = 2 μ_{0} D

(716)

其中， $ϵ$ 为 Phan-Thien-Tanner 参数， $ξ$ 为模型参数，与模型线性版本中的相同，不过第一项替换为指数因子。 $ϵ$ 等于零时，此模型也简化为 Johnson-Segalman 模型。

指数 Phan-Thien-Tanner 模型的平方根共形形式为：

图 12. EQUATION_DISPLAY

λ (\frac{\partial B}{\partial t} + v \cdot \nabla B - B \cdot \nabla v - A B) + \frac{\exp [ϵ (tr [B^{T} \cdot B] - 3)]}{2} (B - {[B^{T}]}^{- 1}) = 0

(717)

仅当 $ξ = 0$ 时，指数 Phan-Thien-Tanner 本构方程与平方根共形形式兼容。如果 $ξ \neq 0$ ，则使用 $T$ 公式。

Giesekus-Leonov 模型

图 13. EQUATION_DISPLAY

T_{i} + α \frac{λ}{μ_{0}} {T_{i}}^{2} + λ \overset{▿}{T_{i}} = 2 μ_{0} D

(718)

其中， $α$ 为 Giesekus-Leonov 参数或迁移率因子， $0 \leq α \leq 0.5$ 。

Giesekus 模型的平方根共形形式为：

图 14. EQUATION_DISPLAY

λ (\frac{\partial B}{\partial t} + v \cdot \nabla B - B \cdot \nabla v - A B) + \frac{1}{2} (B - {[B^{T}]}^{- 1}) + \frac{a}{2} ((B - {[B^{T}]}^{- 1}) \cdot (B^{T} B - I)) = 0

(719)

扩展 Pom-Pom 模型

在涉及扩展和剪切流的复杂应用中，可将单方程扩展 Pom-Pom 模型 (XPP) 用于支化聚合物的流体。无法从常规模型进行推导。

图 15. EQUATION_DISPLAY

f (Λ, T_{i}) T_{i} + λ_{b} \overset{▿}{T_{i}} + G (f (Λ, T_{i}) - 1) I + \frac{α}{G} (T_{i} \cdot T_{i}) = 2 μ_{0} D

(720)

函数 $f (Λ, T_{i})$ 由以下公式给出：

图 16. EQUATION_DISPLAY

f (Λ, T_{i}) = \frac{2}{ϵ} e^{\frac{2}{Q} (Λ - 1)} (1 - \frac{1}{Λ^{2}}) + \frac{1}{Λ^{2}} (1 - \frac{α tr (T_{i} \cdot T_{i})}{3 G^{2}})

(721)

其中：

$Λ = \sqrt{1 + \frac{t r (T_{i})}{3 G}}$ 为材料的延伸因子。
$ϵ = \frac{λ_{s}}{λ_{b}}$ ，其中， $λ_{s}$ 和 $λ_{b}$ 为聚合物的主干延伸和主干管方向的松弛时间。
$G$ 为剪切模量。
$α$ 为各向异性参数。
$Q$ 为聚合物分子上的臂数。

XPP 模型的平方根共形形式为：

图 17. EQUATION_DISPLAY

λ (\frac{\partial B}{\partial t} + v \cdot \nabla B - B \cdot \nabla v - A B) + \frac{1}{2} (f (C) B - {[B^{T}]}^{- 1}) + \frac{a}{2} ((B - {[B^{T}]}^{- 1}) \cdot (B^{T} B - I)) = 0

(722)

其中：

f (C) = \frac{2}{ϵ} e^{\frac{2}{Q} (Λ - 1)} (1 - \frac{1}{Λ^{2}}) + \frac{1}{Λ^{2}} (1 - \frac{α t r {(B^{T} B - I)}^{2}}{3})

且

Λ = \sqrt{\frac{t r (B^{T} B)}{3}}

Rolie-Poly 模型

由 Likhtman 和 Graham [188] 开发的 Rolie Poly（Rouse 线性缠结聚合物）模型用于不均匀的缠结聚合物流。在包含剪切流和拉伸流的复杂流场中，该模型可用于预测如聚苯乙烯或 LLDPE 等线性聚合物。

Rolie-Poly 方程为：

图 18. EQUATION_DISPLAY

λ \overset{▿}{T_{i}} + [1 + \frac{λ f_{r e t r}}{λ_{R}} (1 + f_{c c r})] T_{i} + \frac{μ_{0} f_{r e t r}}{λ_{R}} I = 2 μ_{0} D

(723)

其中：

$λ$ 为松弛时间。
$λ_{R}$ 为 Rouse 松弛时间。
$f_{r e t r}$ 和 $f_{c c r}$ 分别为考虑链收缩和对流约束的项：

$f_{r e t r}$ 和 $f_{c c r}$ 由以下公式给出：

图 19. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} f_{r e t r} = 2 (1 - \frac{1}{\sqrt{\frac{tr (T_{i})}{3 G} + 1}}) \\ f_{c c r} = β {(\frac{tr (T_{i})}{3 G} + 1)}^{δ} \end{matrix}

(724)

其中， $δ$ 和 $β$ 为测量对流约束释放机制的参数。注意， $δ$ 为负且通常视为常数 -0.5，并且 $β \geq 0$ 。

Likhman 和 Graham [188] 表明，在如 $λ_{R} \to 0$ 的限制中，Rolie-Poly 本构方程可以简化为非延伸限制：

图 20. EQUATION_DISPLAY

λ \overset{▿}{T_{i}} + T_{i} + \frac{2 λ}{3} [t r (\nabla v) + \frac{1}{G} t r (\nabla v \cdot T_{i})] [G I + (1 + β) T_{i}] = 2 μ_{0} D

(725)

当 $λ_{R} = 0$ 时，将使用此方程而非 Eqn. (723)。

Rolie-Poly 模型的平方根共形形式为：

图 21. EQUATION_DISPLAY

λ (\frac{\partial B}{\partial t} + v \cdot \nabla B - B \cdot \nabla v - A B) + \frac{1}{2} (B - {[B^{T}]}^{- 1}) + \frac{f_{retr} λ}{2 λ_{R}} (B + f_{ccr} (B - {[B^{T}]}^{- 1})) = 0

(726)

其中

f_{retr} = 2 (1 - \sqrt{\frac{3}{tr (B^{T} \cdot B)}})

且

f_{ccr} = β {(\frac{tr (B^{T} \cdot B)}{3})}^{δ}

非拉伸 Rolie-Poly 模型的平方根共形形式为：

λ (\frac{\partial B}{\partial t} + v \cdot \nabla B - B \cdot \nabla v - A B) + \frac{1}{2} (B - {[B^{T}]}^{- 1}) + \frac{λ tr [\nabla v \cdot (B^{T} \cdot B)]}{3} (B + β (B - {[B^{T}]}^{- 1})) = 0

(727)