短纤维悬浮液

纤维钢筋聚合物复合材料通过各种聚合物融化过程（例如拉伸、喷射和压缩铸模）广泛制造。通常，在纤维悬浮液中，流场改变纤维的方向；同时，纤维的存在（及其平均方向）改变悬浮液的应力响应。

纤维方向预测

用来预测悬浮液中具有均匀体积分数的刚性短纤维方向的连续体方法 [149] 使用方向张量来定义平均方向。方向张量是纤维方向概率分布函数的不同力矩 $ψ$ 。它们为评估复杂流场中的纤维方向提供了计算有效的方法。方向张量定义为：

图 1. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} {\begin{matrix} a \end{matrix}}_{2} & = & \int_{0}^{2 π} ⅆ φ \int_{0}^{π} p p ψ (θ, φ, t) \sin θ d θ \\ A_{4} & = & \int_{0}^{2 π} ⅆ φ \int_{0}^{π} p p p p ψ (θ, φ, t) \sin θ d θ \end{matrix}

(749)

其中：

$θ$ 和 $φ$ 为球坐标系中的极坐标和方位角。
$p$ 为单个纤维的方向矢量。 $p p$ 和 $p p p p$ 为二阶和四阶张量， $p$ 的双积。

在球坐标系中，单个纤维方向矢量可以写为：

p = (\begin{matrix} \sin θ \cos φ \\ \sin θ \sin φ \\ \cos φ \end{matrix})

方向张量必须满足以下对称和归一化属性：

\begin{matrix} a_{i j} & \begin{matrix} = \end{matrix} & a_{j i} \\ A_{i j k l} = A_{i j l k} & = & A_{j i k l} = A_{k l i j} \\ a_{i i} & = & 1 \\ A_{i j k k} & = & a_{i j} \end{matrix}

此外，概率分布函数 $ψ$ 必须满足 Fokker-Planck（群体平衡）方程。 Fokker-Planck 方程可以写为：

图 2. EQUATION_DISPLAY

\frac{D ψ}{D t} = - \nabla\cdot (ψ \dot{p} - \nabla (D_{r} ψ))

(750)

其中， $D_{r}$ 为粘性流体中短纤维的旋转扩散率。

要衍生得出 $a_{2}$ 的改进方程，将 Fokker-Planck 方程乘以 $p p$ [149]，然后在单位球体上对方程两侧进行积分。由此， $a_{2}$ 的改进方程可以写为：

图 3. EQUATION_DISPLAY

\frac{D a_{2}}{D t} = α [- (Ω \cdot a_{2} - a_{2} \cdot a_{2}) + λ (D \cdot a_{2} + a_{2} \cdot D - 2 A_{4} : D) + 2 \dot{γ} C_{I} (I - 3 a_{2})]

(751)

其中：

$D / D t$ 为材料导数。
$D$ 和 $Ω$ 为应变率和涡旋张量。
$\dot{γ}$ 为剪切速率， $\dot{γ} = 2 \sqrt{{I I}_{D}}$ ，其中， ${I I}_{D}$ 为应变率张量的第二不变量。
$α$ 为模型的滑移系数。
$C_{I}$ 为 Bay [153] 和 Phan-Thien [203] 模型所述的经验参数。 $\dot{γ} C_{I} = D_{r}$ 。
在 Bay 模型中：
图 4. EQUATION_DISPLAY

$C_{I} = 0.0184 \exp (- 0.7148 ϕ r)$
(752)

在 Phan-Thien 模型中：

图 5. EQUATION_DISPLAY

$C_{I} = 0.03 [1 - \exp (- 0.0224 ϕ r)]$
(753)

$r$ 为纤维的长宽比。

从 Eqn. (751) 可以明显看出， $a_{2}$ 为 $A_{4}$ 的函数，它展示了一个封闭难题。为了避免对四阶方向张量 $A_{4}$ 的需要，此张量由低阶方向张量近似。 Chung 和 Kwon [160] 提出了基于不变量的最佳拟合 (IBOF) 封闭近似，它根据下式将 $A_{4}$ 与 $a_{2}$ 和单位张量相关联：

A_{i j k l} = β_{1} S (δ_{i j} δ_{k l}) + β_{2} S (δ_{i j} a_{k l}) + β_{3} S (a_{i j} a_{k l}) + β_{4} S (δ_{i j} a_{k m} a_{m l}) + β_{5} S (a_{i j} a_{k m} a_{m l}) + β_{5} S (a_{i m} a_{m j} a_{k n} a_{n l})

其中， $S$ 指示其参数的对称部分，定义为：

S (T_{i j k l}) = \frac{1}{24} (T_{i j k l} + T_{j i k l} + T_{i j l k} + T_{j i l k} + T_{k l i j} + T_{l k i j} + T_{k l j i} + T_{l k j i} + T_{i k j l} + T_{k i j l} + T_{i k l j} + T_{k i l j} + T_{j l i k} + T_{l j i k} + T_{j l k i} + T_{l j k i} + T_{i l j k} + T_{l i j k} + T_{i l k j} + T_{l i k j} + T_{j k i l} + T_{k j i l} + T_{j k l i} + T_{k j l i})

— 即，以所有可能的阶次采用应力张量 $T$ 的下标。

六组系数 $β_{i}$ 为 $a_{2}$ 的第二和第三不变量的函数。

纤维悬浮液流变

纤维的存在对压力有额外的贡献。可以显示 [179] 由于牛顿流体中存在球形纤维而引起的体积应力贡献由以下方程控制：

图 6. EQUATION_DISPLAY

T_{suspension} = 2 μ_{s} D + T_{fiber}

(754)

其中：

图 7. EQUATION_DISPLAY

T_{fiber} = 2 μ_{s} ϕ [C_{1} D + C_{2} A_{4} : D]

(755)

和

$ϕ$ 为悬浮液中纤维的体积分数。
$μ_{s}$ 为溶剂粘度。
$A_{4}$ 使用 IBOF 封闭近似加以确定。
$C_{1}$ 和 $C_{2}$ 为两个常数，由五个模型中的任何一个确定。

可用于确定 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的模型为：

Lipscomb 等人: 此模型适用于稀释纤维悬浮液 [191]。
图 8. EQUATION_DISPLAY

$\begin{matrix} C_{1} = 2 \\ C_{2} = \frac{r^{2}}{2 \ln r} \end{matrix}$
(756)
Batchelor: 此模型适用于稀释纤维悬浮液 [152]。
图 9. EQUATION_DISPLAY

$\begin{matrix} C_{1} = 0 \\ C_{2} = \frac{2 r^{2}}{3 \ln 2 r} \end{matrix}$
(757)
Shaqfeh 和 Fredrickson: 此模型适用于稀释纤维悬浮液 [209]。
图 10. EQUATION_DISPLAY

$\begin{matrix} C_{1} = 0 \\ C_{2} = \frac{4 r^{2}}{3 \ln (\frac{1}{ϕ})} [1 - \frac{\ln (\ln (\frac{1}{ϕ}))}{\ln (\frac{1}{ϕ})} + \frac{0.6634}{\ln (\frac{1}{ϕ})}] \end{matrix}$
(758)
Phan-Thien 和 Graham: 此模型适用于半浓缩纤维悬浮液 [203]。
图 11. EQUATION_DISPLAY

$\begin{matrix} C_{1} = 0 \\ C_{2} = \frac{r^{2} (2 - \frac{ϕ}{0.53 - 0.013 r})}{2 (\ln (2 r) - 1.5) {(1 - \frac{ϕ}{0.53 - 0.013 r})}^{2}} \end{matrix}$
(759)
Dinh 和 Armstrong: 此模型适用于半浓缩纤维悬浮液 [164]。
图 12. EQUATION_DISPLAY

$\begin{matrix} C_{1} = 0 \\ C_{2} = \frac{r^{2}}{3 \ln (\frac{π}{2 ϕ r})} \end{matrix}$
(760)

当 $ϕ < \frac{1}{r^{2}}$ 时，悬浮液处于稀释流态中。当 $\frac{1}{r^{2}} < ϕ < \frac{1}{r}$ 时，悬浮液处于半浓缩流态中。