碳烟截面

碳烟截面法基于包含相同体积碳烟颗粒的截面的描述，支持基于体积的颗粒尺寸离散化以及碳烟数密度和质量守恒。

在截面模型中传输指定数量的截面。对于每个截面，求解碳烟质量分数传输方程，该方程如下：

图 1. EQUATION_DISPLAY

\bar{ρ} \frac{\partial Y_{i, s o o t}}{\partial t} + \nabla\cdot [\bar{ρ} v_{j} Y_{i, s o o t} - \bar{ρ} \frac{μ_{t}}{{S c}_{s o o t}} \nabla Y_{i, s o o t}] = ρ_{s o o t} {\tilde{Ω}}_{i, s o o t}

(3715)

其中

{S c}_{s o o t}

为碳烟施密特数，并且：

图 2. EQUATION_DISPLAY

Y_{i, s o o t} = \frac{m_{i, s o o t}}{m_{c e l l}}

(3716)

其中，

i

为截面索引，

m_{i, s o o t}

为给定电池单元的截面

i

中的碳烟质量，

m_{c e l l}

为电池单元的气体质量。

ρ_{s o o t}

为碳烟颗粒的密度，用于确定 Eqn. (3750) 中的碳烟质量密度

M_{s o o t}

。

碳烟源项

{\tilde{Ω}}_{i, s o o t}

由如下方程给出：

图 3. EQUATION_DISPLAY

{\tilde{Ω}}_{i, s o o t} = [{\tilde{Ω}}_{i, n u c} + {\tilde{Ω}}_{i, c o n d} + {\tilde{Ω}}_{i, s g} + {\tilde{Ω}}_{i, o x} + {\tilde{Ω}}_{i, c o a g}]

(3717)

其中， $n u c$ 为成核， $c o n d$ 为冷凝， $s g$ 为表面增长， $o x$ 为氧化， $c o a g$ 表示凝结源项。

为了计算每个截面 $i$ 中的碳烟质量，该模型描述从气相到固态互作用的所有形成和氧化阶段。

截面 1 的最小体积

v_{1, \min}

和最大体积

v_{1, \max}

由如下等式给出：

图 4. EQUATION_DISPLAY

v_{1, \min} = \frac{3 v_{P A H}}{2}

(3718)

和：

图 5. EQUATION_DISPLAY

v_{1, \max} = v_{M I N} + v_{C 2}

(3719)

其中，

v_{P A H}

为多环碳氢化合物 (PAH) 体积，

v_{C 2}

为两个碳原子的体积。

最大体积

v_{i, \max}

、平均体积

v_{i, m}

和最小体积

v_{i, \min}

（截面

i

）由以下等式给出：

图 6. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} v_{i, \min} = v_{i - 1, \max} & f o r i > 1 \end{matrix}

(3720)

图 7. EQUATION_DISPLAY

v_{i, m} = \frac{v_{i, \min} + v_{i, \max}}{2}

(3721)

图 8. EQUATION_DISPLAY

v_{i, m a x} = (v_{M I N} + v_{C 2}) {(\frac{v_{M A X}}{v_{M I N} + v_{C 2}})}^{\frac{i - 1}{i_{\max} - 1}}

(3722)

其中，

v_{M I N}

和

v_{M A X}

分别为所有截面中的绝对最小体积和绝对最大体积，

i_{\max}

为最后一个截面的项数。

图 9. EQUATION_DISPLAY

Δ v_{i} = v_{i, \max} - v_{i, \min}

(3723)

假设每个截面内具有恒定体积分布，从而给出碳烟体积分布

q_{i} (v)

（在截面

i

内）：

图 10. EQUATION_DISPLAY

q_{i} (v) = \frac{ρ Y_{i}}{ρ_{s o o t} Δ v_{i}}

(3724)

尺寸重新划分

f (i, s o o t)

（截面

i

）和总体积分数

Q_{i}

由以下等式给出：

图 11. EQUATION_DISPLAY

f (i, s o o t) = \frac{ρ Y_{i}}{ρ_{s o o t} v_{i, m}}

(3725)

图 12. EQUATION_DISPLAY

Q_{i} = \int_{v_{i, \min}}^{v_{i, \max}} q_{i} (v) d v

(3726)

成核: 假设两个 PAH 分子碰撞形成碳烟颗粒，并且第一个碳烟颗粒的体积可以表示为：
图 18. EQUATION_DISPLAY

${\tilde{Ω}}_{1, n u c} = v_{P A H} β_{P A H, P A H} N_{P A H}^{2}$

(3732)
其中， $β_{P A H, P A H}$ 为 PAH 分子的碰撞频率， $N_{P A H}$ 为 PAH 分子数量。成核源项仅应用于第一个截面。可以使用三个可用的成核选项中的任意一个。
冷凝: PAH 分子冷凝所导致的截面 $i$ 中的体积变化可以表示为：
图 19. EQUATION_DISPLAY

$Δ Q_{i, c o n d} = v_{P A H} N_{P A H} \int_{v_{i, \min}}^{v_{i, \max}} β_{P A H, P A H} n_{i} (v) d v$

(3733)
图 20. EQUATION_DISPLAY

$n_{i} (v) = \frac{q_{i} (v)}{v}$

(3734); 计算冷凝源需要 PAH 浓度。它通过求解以下二次方程来计算：
图 21. EQUATION_DISPLAY

$R_{P A H} = 2 β_{P A H, P A H} N_{P A H}^{2} + Σ_{i}^{i_{\max}} N_{P A H} \int_{v_{i, \min}}^{v_{i, \max}} β_{P A H, P A H} n (v) d v$

(3735)
截面 $i$ 的净冷凝率由相邻截面的颗粒冷凝平衡产生。
图 22. EQUATION_DISPLAY

$Δ Q_{i, c o n d} = Δ q_{i . c o n d}^{\to} - Δ q_{i . c o n d}^{↑}$

(3736)
$Δ q_{i . c o n d}^{↑}$ 为烟气颗粒离开截面的速率，而 $Δ q_{i . c o n d}^{\to}$ 为碳烟颗粒进入截面 $i$ 的速率。; 图 23. EQUATION_DISPLAY

$Δ q_{i . c o n d}^{↑} = \frac{1}{\frac{(v_{i + 1, \max} - v_{i + 1, \min}) \ln (v_{i, \max} / v_{i, \min})}{(v_{i, \max} - v_{i, \min}) \ln (v_{i + 1, \max} / v_{i + 1, \min})} - 1} Δ Q_{i, c o n d}$

(3737)
图 24. EQUATION_DISPLAY

$Δ q_{i . c o n d}^{\to} = \frac{1}{\frac{(v_{i, \max} - v_{i, \min}) \ln (v_{i + 1, \max} / v_{i + 1, \min})}{(v_{i + 1, \max} - v_{i + 1, \min}) \ln (v_{i, \max} / v_{i, \min})}} Δ Q_{i, c o n d}$

(3738)
每个截面的冷凝源项可以写为：
图 25. EQUATION_DISPLAY

$Ω_{1, c o n d} = - Δ q_{i, c o n d}^{↑}$

(3739)
图 26. EQUATION_DISPLAY

$Ω_{i, c o n d} = Δ q_{i - 1, c o n d}^{\to} - Δ q_{i, c o n d}^{↑}, i = 2, 3, ..., i_{\max} - 1$

(3740)
图 27. EQUATION_DISPLAY

$Ω_{i_{M A X}, c o n d} = Δ q_{i_{M A X} - 1, c o n d}^{\to}$

(3741)
表面增长和氧化: 碳烟表面增长取决于碳烟表面反应机制：HACA（脱氢加碳）或 HACA-RC（脱氢加碳闭环）机制。截面 $i$ 中的碳烟体积变化可以表示为：
图 28. EQUATION_DISPLAY

$Δ Q_{i, s g} = α v_{C_{2}} k_{s g} \int_{v_{i, \min}}^{v_{i, \max}} {(\frac{v}{v_{C_{2}}})}^{\frac{θ}{3}} n_{i} (v) d v$

(3742)
图 29. EQUATION_DISPLAY

$Δ Q_{i, o x} = α v_{C_{2}} k_{o x} \int_{v_{i, \min}}^{v_{i, \max}} {(\frac{v}{v_{C_{2}}})}^{\frac{θ}{3}} n_{i} (v) d v$

(3743); $k_{s g}$ 和 $k_{o x}$ 为表面增长和氧化率，具体取决于 HACA 或 HACA-RC 动能。常数 $θ$ 是随碳烟颗粒直径变化的表面分形维度。为小于 20nm 的颗粒设置较低的分形维度值，为大于 60nm 的颗粒设置较高的值，且在这些值之间，分形维度会线性演变。; 根据类似于 Eqn. (3737) 和 Eqn. (3738) 等式，每个截面的净面增长和氧化由以下等式给出：
图 30. EQUATION_DISPLAY

$Ω_{1, s g} = - Δ q_{i, s g}^{↑}$

(3744)
图 31. EQUATION_DISPLAY

$Ω_{i, s g} = Δ q_{i - 1, s g}^{\to} - Δ q_{i, s g}^{↑}, i = 2, 3, ..., i_{\max} - 1$

(3745)
图 32. EQUATION_DISPLAY

$Ω_{i_{M A X}, s g} = Δ q_{i_{M A X} - 1, s g}^{\to}$

(3746); 且; 图 33. EQUATION_DISPLAY

$Ω_{i, o x} = Δ q_{i - 1, o x}^{\to} - Δ q_{i, o x}^{↑}, i = 2, 3, ..., i_{\max} - 1$

(3747)

图 34. EQUATION_DISPLAY

$Ω_{i_{M A X}, o x} = Δ q_{i_{M A X} - 1, o x}^{\to}$

(3748)
凝结: 每个截面的凝固源公式由以下等式给出：
图 35. EQUATION_DISPLAY

$Ω_{i, c o a g} = \underset{v_{i, \min} < v_{k} + v_{j} < v_{i, \max}}{Σ} (v_{k} + v_{j}) N_{k} N_{j} β_{t r, c o a g} (v_{k}, v_{j}) + \underset{v_{k} + v_{i} < v_{i, \max}}{Σ} v_{k} N_{k} N_{j} β_{t r, c o a g} (v_{k}, v_{i}) - v_{i} N_{i} \underset{v_{i} + v_{j} < v_{i, \max}}{Σ} N_{j} β_{t r, c o a g} (v_{i}, v_{j}) - 2 v_{i} N_{i} N_{i} β_{t r, c o a g} (v_{i}, v_{j})$

(3749); $N_{i}$ 为颗粒尺寸 $i$ 的数密度， $β_{t r, c o a g}$ 为凝结的碰撞频率，它是颗粒尺寸、温度和压力的函数。

Soot Mass Density（碳烟质量密度）: 图 36. EQUATION_DISPLAY

$M_{s o o t} = ρ_{s o o t} f_{v}$

(3750)
碳烟体积分数: 图 37. EQUATION_DISPLAY

$f_{v} = Σ_{i = 1}^{i_{\max}} \frac{ρ Y_{i, s o o t}}{ρ_{s o o t}}$

(3751)
Soot Mean Diameter（碳烟平均直径）: 图 38. EQUATION_DISPLAY

$d_{p} = {(\frac{6 f_{v}}{N_{t o t} \cdot π})}^{1 / 3}$

(3752)
Soot Number Density（碳烟数密度）: 图 39. EQUATION_DISPLAY

$N_{t o t} = Σ_{i = 1}^{i_{\max}} \frac{ρ Y_{i}}{ρ_{s o o t} (Δ v_{i})} \log (\frac{v_{i, \max}}{v_{i, \min}})$

(3753)
颗粒尺寸分布函数: 截面 $i$ （其中 $i = 1 t o i_{\max}$ ）的颗粒尺寸分布函数，由以下等式给出：
图 40. EQUATION_DISPLAY

$\frac{d N}{d \log (d_{p})} (i) = \frac{N_{i}}{\frac{1}{3} \log_{10} (\frac{6 v_{i, \max}}{π}) - \frac{1}{3} \log_{10} (\frac{6 v_{i, \min}}{π})}$

(3754)