雷诺应力传输方程

雷诺应力张量 $R$ 的传输方程如下：

图 1. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t} (ρ R) + \nabla\cdot (ρ R \bar{v}) = \end{matrix} \begin{matrix} \nabla\cdot D + P + G - \frac{2}{3} I ϒ_{M} + \overset{ϕ}{_} - ρ \underset{̲}{ε} + S_{R} \end{matrix}

(1309)

其中：

$ρ$ 为密度。
$\bar{v}$ 为平均速度。
$D$ 为雷诺应力扩散。
$P$ 为湍流结果。
$G$ 为浮力结果。
$I$ 为单位张量。
$γ_{M}$ 为膨胀耗散。
$\underset{̲}{ϕ}$ 为压力应变张量。
$\underset{̲}{ε}$ 为湍流耗散率张量。
$S_{R}$ 为用户指定的源。

对于线性压力应变和二次压力应变模型，耗散仅为：

\underset{̲}{ε} = \frac{2}{3} ε I

(1310)

必须求解七个方程（而 K-Epsilon 或 K-Omega 模型只需求解两个方程）：六个方程用于雷诺应力（对称张量），一个方程用于各向同性湍流耗散 $ε$ （请参见 Eqn. (1169) (SKE)）。

雷诺应力扩散

有两种不同的模型可用于雷诺应力扩散。默认情况下，根据 [343]，将采用湍流扩散的简单各向同性形式，因此：

图 2. EQUATION_DISPLAY

D = (μ + \frac{μ_{t}}{σ_{k}}) \nabla R

(1311)

其中：

$μ$ 为动力粘度。
$σ_{k}$ 为模型系数。

湍流粘度 $μ_{t}$ 计算如下：

图 3. EQUATION_DISPLAY

μ_{t} = ρ C_{μ} \frac{k^{2}}{ε}

(1312)

其中， $C_{μ}$ 为模型系数。湍动能 $k$ 定义如下：

图 4. EQUATION_DISPLAY

k = \frac{1}{2} t r (R)

(1313)

其中， $t r (R)$ 为雷诺应力张量的迹（请参见 Eqn. (1146)）。

或者，可根据 Daly 和 Harlow 的研究 [338]，用以下形式表示雷诺应力扩散：

图 5. EQUATION_DISPLAY

D = μ \nabla R + C_{s} \frac{k}{ε} (R \cdot \nabla) R

(1314)

其中， $C_{s}$ 为模型系数。

此模型也称作广义梯度扩散假设 (GGDH)。

湍流结果

湍流结果按如下所示直接获得，无须依靠建模：

图 6. EQUATION_DISPLAY

P = - ρ (R \cdot \nabla {\bar{v}}^{T} + \nabla \bar{v} \cdot R^{T}) = - ρ (R \cdot \nabla {\bar{v}}^{T} + \nabla \bar{v} \cdot R)

(1315)

浮力结果

对于使用 Boussinesq 近似的恒密度流，浮力结果建模为：

图 7. EQUATION_DISPLAY

G = β \frac{μ_{t}}{\Pr_{t}} (\nabla \bar{T} g + g \nabla \bar{T})

(1316)

其中：

$β$ 为热膨胀系数。
$g$ 为重力矢量。
$\Pr_{t}$ 为湍流普朗特数。
$\bar{T}$ 为平均温度。

对于密度变化的流体：

图 8. EQUATION_DISPLAY

G = \frac{μ_{t}}{{ρ \Pr}_{t}} (\nabla ρ g + g \nabla ρ)

(1317)

湍流耗散率

各向同性湍流耗散率是通过与 K-Epsilon 模型相似的传输方程（并使用相同的边界条件）获得的：

图 9. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t} (ρ ε) + \nabla\cdot (ρ ε \bar{v}) = \\ \nabla\cdot [(μ + \frac{μ_{t}}{σ_{ε}}) \nabla ε] + \frac{ε}{k} [C_{ε 1} (\frac{1}{2} tr (P) + \frac{1}{2} C_{ε 3} tr (G)) - C_{ε 2} ρ ε] \end{matrix}

(1318)

其中：

$C_{ε 1}$ 和 $C_{ε 2}$ 为模型系数。
$C_{ε 3}$ 通过标准 K-Epsilon 模型确定（请参见 K-Epsilon 模型系数）。

膨胀耗散率

在 K-Epsilon 模型中将膨胀耗散 $ϒ_{M}$ 建模为（使用 Sarkar 等人提出的模型[344]）：

图 10. EQUATION_DISPLAY

ϒ_{M} = \frac{ρ C_{M} k ε}{c^{2}}

(1319)

其中：

$C_{M}$ 为模型系数。
$c$ 为声速。

模型系数


系数	线性压力应变	线性压力应变两层	二次压力应变	椭圆混合
$σ_{k}$	1	0.82	1	1
$σ_{ε}$	1.22	1	1.22	1.15
$C_{M}$ (Sarkar)	2	2	2	2
$C_{s}$	0.2	0.2	0.2	0.21
$C_{ε 1}$	1.44	1.44	1.44	1.44
$C_{ε 2}$	1.92	1.92	1.83	1.83
$C_{μ}$	0.065536	0.09	0.098596	0.07