频率空间自谱和交叉谱

频率空间 (fs) 自谱定义如下

图 1. EQUATION_DISPLAY
G(x;ω)=g*(x;ω)g(x;ω)
(499)

其中,g* 为 g 的共轭复数。

频率空间 (fs) 交叉谱为

图 2. EQUATION_DISPLAY
G(x1,x2;ω)=g*(x1;ω)g(x2;ω)     ∀x1∈S,∀x2∈S
(500)

为长度为 T 的 kth 采样时间块定义“有限傅立叶变换”:

图 3. EQUATION_DISPLAY
g(x;f,T)=∫01h(x,t)e−iωtⅆt
(501)

空间 x1, x2 中任意两点处的随机过程之间的单侧交叉谱密度定义如下

图 4. EQUATION_DISPLAY
G(x1,x2;f)=limT→∞2TE〈gk*(x1;f,T)gk(x2;f,T)〉
(502)

单个点处的随机信号的对应单侧自谱密度为:

图 5. EQUATION_DISPLAY
G(x,x;f)=limT→∞2TE〈gk*(x;f,T)gk(x;f,T)〉=limT→∞2TE〈|gk(x;f,T)|2〉
(503)

其中,E〈 〉 表示用于平均所有指数 k 的期望算子。 该期望算子对于获取两个随机过程(定义如下)之间的相干性非常重要。

由于交叉谱密度通常很复杂,因此较便捷的做法是转换为幅值和相位。 幅值定义如下:

图 6. EQUATION_DISPLAY
|G(x1,x2;f)|=[Re⁢  G(x1,x2;f)]2+[Im⁡G(x1,x2;f)]2
(504)

相位定义如下:

图 7. EQUATION_DISPLAY
θ(x1, x2;f)=a⁢tan(Im⁡G(x1,x2;f)]Re⁡G(x1,x2;f)])
(505)

相干性用于衡量位置 x′ 处呈现出该时间平均相位的随机信号与位置 x 处随机信号的相关程度。 相干性定义如下

图 8. EQUATION_DISPLAY
γ2(x1,x2;f)=|G(x1,x2;f)|2G(x1,x1;f)G(x2,x2;f)
(506)