基本关系

时间傅立叶变换定义为

图 1. EQUATION_DISPLAY
FTt[h(x;t)]=∫−∞∞h(x:t)e−iωtⅆt=g(x;ω)    ∀ω∈[−∞,∞]
(488)

其中，h(x;t) 为取决于位置 x 和时间 的实际函数，tω 为角频率。

积分限值是指整个时间域 t∈[∞, −∞] 的积分。 但实际上，该积分是指给定时间段 t∈[−T/2, T/2] 的积分。 函数 h(x;t) 为时间周期函数（或者已更改为周期函数）。

更常见的是使用特定时间块 T 的“有限”傅立叶变换：

图 2. EQUATION_DISPLAY
FTt[h(x;t)]=∫−T/2T/2h(x:t)e−iωtⅆt=g(x;ω,T)    ∀ω∈[−mπT,mπT]
(489)

其中，m 为采样点数。

如果在块 T 的 kth 记录上进行有限变换，则变换为：

图 3. EQUATION_DISPLAY
FTt[h(x;t)]=∫−(tk+(T/2))(tk+(T/2))h(x:t)e−iωtⅆt=g(x;ω,T)    ∀ω∈[−mπT,mπT]
(490)

时间傅立叶逆变换为

图 4. EQUATION_DISPLAY
FTt−1[g(x;ω)]⁢= 12π∫−∞∞g(x;ω)e−iωtⅆω⁢=h(x;t)⁢     ∀t⁢∈ [−∞,∞]
(491)

同样，尽管积分域为无限域，但应理解为此积分是有限频率空间的积分。

空间傅立叶变换定义为

图 5. EQUATION_DISPLAY
FTs[g(x;ω)]⁢= ∫x⁢g(x;ω)e−ik⋅x|ⅆx|=f(k;ω)⁢     ∀k⁢∈ K;     ω⁢∈[−∞,∞]
(492)

函数为空间周期函数（或已更改为空间周期函数）。

使用压缩符号

图 6. EQUATION_DISPLAY
g(x;ω)e−ik⋅x|dx|≡g(x(ξ);ω)e−ik⋅s(ξ)|∂x∂ξ1×∂x∂ξ2|∂ξ1∂ξ2
(493)

空间傅立叶变换实际上出现在参数空间中，而不是表面上某个点的坐标的三维空间。 此参数表示映射到定期采样的平面二维空间中。

空间傅立叶逆变换为

图 7. EQUATION_DISPLAY
FTs−1[f(x;ω)]⁢ =1(2π)n∫Kf(x;ω)e−ik⋅x|ⅆk|= g(x;ω)⁢     ∀x∈S; ω⁢∈ [−∞,∞]
(494)

其中，n 为波数空间 K 的维数。 对于表面上的转换 k={k1, k2}∈K, n=2。 对于曲线上的变换，n=1。