网格运动的守恒方程

流体力学

网格运动通过在对流项中引入额外的通量来修改守恒方程。此外，如果相对于移动参考坐标系定义运动，则动量方程会考虑因非惯性参考坐标系产生的假想力。

移动网格的流体方程

考虑最常见的情况，即：相对于参考坐标系定义网格运动，而参考坐标系相对于基准参考系移动。守恒方程（Eqn. (654)、Eqn. (655) 和 Eqn. (658)）可以按基准坐标系中的流体速度（也称为绝对速度）写为：

$$\frac{\partial }{\partial t}\underset{V}{\int }\rho dV+{\oint }_A\rho (v_r-v_g)\cdot da=\underset{V}{\int }{S}_{u}dV$$

(4862)

$$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial t}{\int }_V\rho \mathbf{\text{v}}dV+\underset{A}{\overset{}{\oint }}\rho v\otimes (v_r-v_g)\cdot d\mathbf{\text{a }}=\end{array}{\oint }_A\sigma \cdot da+{\int }_V{f}_{b}dV-{\int }_V\rho \omega \times vdV$$

(4863)

$$\frac{\partial }{\partial t}{\int }_V^{}\rho EdV+{\oint }_A^{}\rho E(v_r-v_g)\cdot d\mathbf{\text{a}}=-{\oint }_A^{}q\cdot d\mathbf{\text{a}}+{\oint }_A^{}(\mathbf{\text{v}}\cdot \sigma )\cdot d\mathbf{\text{a}}+{\int }_V^{}{\mathbf{\text{f}}}_b\mathbf{\cdot }\mathbf{\text{v}}dV+{\int }_V^{}{S}_{E}dV$$

(4864)

其中， $v_g$ 为基准参考系中的网格速度， $v_r$ 为 Eqn. (4860) 中定义的相对速度。Eqn. (4863) 右侧的最后一项为由非惯性移动参考坐标系引入的假想力。假想力由 coriolis 力和离心力组成。如果参考坐标系不移动，则此假想力将会消失，且 $v_r=v$ 。

对于基准坐标系中的固定网格，Eqn. (4862)、Eqn. (4863) 和 Eqn. (4864) 将简化为 Eqn. (664)、Eqn. (665) 和 Eqn. (666)。

空间守恒

当网格移动时，其网格单元的形状和位置可以随时间变化。对于直接移动网格节点的运动（如变形或用户自定义运动），Simcenter STAR-CCM+ 会求解一个额外的方程来强制执行空间守恒：

$$\frac{d}{dt}\underset{V}{\int }dV=\underset{A}{\int }{v}_g\cdot da$$

(4865)

这样，Simcenter STAR-CCM+ 可确保网格单元体积的变化率平衡其边界表面的运动。

网格通量计算

在 Eqn. (4862)、Eqn. (4863) 和 Eqn. (4864) 中，对流项包含网格速度和移动参考坐标系产生的额外贡献。

考虑到对流项的离散形式（请参见 Eqn. (882)），这些贡献将转化为额外通量 $G$，称为网格通量。面 $f$ 处的已修正对流通量则可以写为：

$${\left[\varphi \rho (\mathbf{\text{v}}\cdot \mathbf{\text{a}}-G)\right]}_f={\dot{m}}_f{\varphi }_f$$

(4866)

其中：

$$G=G_{MRF}+G_g$$

(4867)

移动参考坐标系产生的贡献 $G_{MRF}$ 计算如下：

$$G_{MRF}=(v_{MRF,t}+{\omega }_{MRF}\times r)\cdot {\mathbf{\text{a}}}_f$$

(4868)

当参考坐标系不移动时，$G_{MRF}=0$。

对于一阶时间近似，网格运动产生的贡献计算如下：

$$G_g=\frac{\delta V_f^n}{\Delta t}$$

(4869)

对于二阶时间近似：

$$G_g=\frac{\left({\alpha }^2-1\right){\delta V}_f^{n+1}-{\delta V}_f^n}{\alpha \left(\alpha -1\right)\Delta t^{n+1}}$$

(4870)

且：

$$\begin{array}{ccc}\alpha & =& 1+\frac{\Delta t^{n+1}}{\Delta t^n}\\ \mathrm{\Delta }{t}^{n+1}& =& t^{n+1}-t^n\\ \mathrm{\Delta }{t}^n& =& t^n-t^{n-1}\end{array}$$

(4871)

其中，$\delta V_f^{n+1}$ 为面 $f$ 在时间步 $\Delta t^{n+1}$ 期间扫掠的体积，$\delta V_f^n$ 为面 $f$ 在时间步 $\Delta t^n$ 期间扫掠的体积。

将从两个时间级别的网格位置计算扫掠体积。$n$ 表示当前时间级别，$n-1$ 表示上一个时间级别，而 $n+1$ 表示下一个时间级别。$\Delta t$ 为时间步。

当网格固定时，$G_g=0$。

固体力学

在固体力学应用中，可根据应用的负载对固体结构的变形进行建模。当固体具有预先指定规律的运动时，Simcenter STAR-CCM+ 还会考虑因固体结构加速度产生的惯性力而导致的变形。

固体力学应用与旋转、平移和旋转和平移刚体运动模型兼容。这些运动只能相对于基准参考系定义。

位置、速度和加速度

Simcenter STAR-CCM+ 支持多级叠加旋转和平移，其中较低级别的运动相对于父运动进行定义。应用 $n$ 个任意叠加的旋转和平移之后，网格节点的位置可以写为：

$$X_n=X^{c_1}+R_n(X-X^{c_n})+{\displaystyle \sum _{i=1}^n{d}_i}+{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{R}_i(X^{c_{(i+1)}}-X^{c_i})}$$

(4872)

其中，$X^{c_i}$ 为第 $i$ 个运动的原点位置，$X$ 为节点的初始位置，$d_i=v_{i}t$ 为因平移产生的第 $i$ 个运动的节点位移（其中 $v_i$ 为平移速度），$R_i$ 为复合旋转矩阵，定义如下：

$$R_i=R\left[\left({\displaystyle \sum _{k=1}^i}{\omega }_k\right)t\right]$$

(4873)

对 Eqn. (4872) 求微分可提供刚体网格速度 $v_g$：

$$v_g={\displaystyle \sum _{i=1}^n[v_i+{\displaystyle {\omega }_i\times (X-X^{c_i})}]}$$

(4874)

其中，${\omega }_i$ 为第 $i$ 个运动的复合角速度：

$${\omega }_i={\displaystyle \sum _{k=1}^i{\omega }_k}$$

(4875)

对 Eqn. (4874) 求微分可提供刚体网格加速度 ${\dot{v}}_g$：

$${\dot{v}}_g={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\dot{v}}_i+\sum _{i=1}^{n}2{\omega }_i\times v_i+\sum _{i=1}^n{\dot{\omega }}_i\times (X-X^{c_i})+\sum _{i=1}^n\left[{\omega }_i\times (\sum _{i=1}^n[{\omega }_i\times (X-X^{c_i}\left)\right]-\sum _{j=1}^i[{\omega }_j\times (X^{c_i}-X^{c_j})])\right]}$$

(4876)

其中，第一项为平移加速度，第二项为 Coriolis 加速度，第三项为离心加速度，最后一项为切向加速度。

刚性移动网格的动量方程

通过预先指定规律的网格运动，动量方程 (Eqn. (4460)) 可以写为：

$$\rho \ddot{u}-\nabla \cdot \sigma -f_b+\rho {\dot{v}}_g=0$$

(4877)

其中，${\dot{v}}_g$ 为因预先指定规律的运动而产生的网格加速度（请参见 Eqn. (4876)）。类似的更改将应用于虚功方程 (Eqn. (4462))。

总位移可以写为：

$$u_T=u_R+u$$

(4878)

其中，$u_R$ 为预先指定规律的旋转和平移产生的刚性位移，$u$ 为固体应力求解器计算的非刚性变形产生的位移。没有旋转和平移时，$u_T=u$。

对于 FSI 应用程序，还可以根据通过 Eqn. (4877) 计算得出的位移移动固体网格（请参见固体位移运动）。

对于基准坐标系中的固定网格，Eqn. (4877) 将简化为 Eqn. (4460)。为了与流体兼容，固体力学应用还支持移动参考坐标系中的固定网格。如果是网格运动，则所有结果均显示在相对于基准坐标系的移动网格上。对于移动参考坐标系中的固定网格，所有结果均显示在相对于移动参考坐标系的固定网格上。