安德森加速

安德森加速法（也称为拟牛顿逆向最小二乘法）是强耦合 FSI 应用的求解稳定方法。此方法可以加速收敛并提高求解的稳定性。

安德森加速法用于针对流体边界与位移的函数求解固定点问题。固定点问题求解可由以下公式给出：
图 1. EQUATION_DISPLAY
g(x)=x
(4634)
其中 g 是一个定点运算符，表示执行与流体和固体子域关联的求解器。
Eqn. (4634) 可以写为：
图 2. EQUATION_DISPLAY
f(x)=g(x)−x⁢=0
(4635)
使用一阶泰勒展开，Eqn. (4635) 可以编写为：
f⁢(x⁢+Δx)≈f⁢(x)+J(x⁢)Δ⁢x 
(4636)
其中， J⁢(x) 为雅可比。雅可比是 f(x⁢) 函数的导数的平方矩阵。每个牛顿迭代 k 处的牛顿步 Δ⁢xk 由以下公式确定：
Δxk=−J(xk)−1⁢f(xk)
(4637)
xk+1=xk+Δxk
(4638)

雅可比不可直接用于分区耦合 FSI。因此，在准牛顿方法中，雅克比 Jk⁢= J(xk) 使用增量历史进行近似计算：

图 3. EQUATION_DISPLAY
Xk=[Δxk−m⁢ ,...⁢ ,Δxk−1]∈ℜn×m
(4639)
图 4. EQUATION_DISPLAY
Fk=[Δfk−m⁢ ,...⁢ ,Δfk−1]∈ℜn×m
(4640)

其中， Xk 包含固定点位移的增量， Fk 包含固定点残差的增量。 m 对应增量数， n 为润湿交界面的未知量数。

受多割线条件限制：
Jk−1Fk⁢=Xk
(4641)
安德森加速通过对以下公式求极小值约值逆雅可比 Jk−1 ：
‖Jk−1−Jk−m−1‖F
(4642)
其中 Jk−m−1=−I