Spalart-Allmaras DES

Spalart-Allmaras 分离涡模型将边界层中标准 Spalart-Allmaras RANS 模型的功能与非稳态分离区域中的大涡模拟 (LES) 的功能相结合。

通过将湍流耗散项 $ϒ_{\tilde{ν}}$ （请参见 Eqn. (1154)）中距最近壁面的距离 $d$ 替换为 $\tilde{d}$ ，可获得 DES 公式（[362]、[359]）。 $\tilde{d}$ 的定义取决于使用的 DES 方法。

DDES 公式

为了防止在模糊网格的边界层内过早开始 LES 模式，Spalart 等人的 [363] 为取决于湍流涡粘度值和速度梯度值的耗散长度尺度 $\tilde{d}$ 定义引入了校正。新方法已命名为延迟 DES (DDES)。

对于 DDES，长度尺度 $\tilde{d}$ 计算如下：

图 1. EQUATION_DISPLAY

\tilde{d} = d - f_{d} max (0, d - {ψ C}_{D E S} Δ)

(1408)

和

$C_{D E S}$ 为模型系数。
$Δ$ 是考虑的网格单元中心和相邻网格单元的网格单元中心之间的最大距离。

函数 $f_{d}$ 为 [363]：

图 2. EQUATION_DISPLAY

f_{d} = 1 - \tanh [{(8 r_{d})}^{3}]

(1409)

其中：

图 3. EQUATION_DISPLAY

r_{d} = \frac{\tilde{ν}}{\sqrt{\nabla v {: \nabla v}^{T}} κ^{2} d^{2}}

(1410)

并且 $κ$ 为冯·卡门常数。请参见 Spalart-Allmaras 模型 — 模型系数。

设计了可选的低雷诺数校正函数 $ψ$ ，用于防止在“LES”模式下时激活低雷诺数项 ([363])。定义如下：

图 4. EQUATION_DISPLAY

ψ^{2} = min {100, \frac{1 - C_{b 1} ([f_{t 2} + (1 - f_{t 2}) f_{v 2}] / {{f_{w}^{*} κ}^{2} C}_{w 1})}{(1 - f_{t 2}) f_{v 1}}}

(1411)

其中：

Spalart-Allmaras 模型 — 模型系数中已给定 $C_{b 1}$ 和 $C_{w 1}$ 。
$f_{t 2}$ 为根据是否适用于 DES 模型而定义的阻尼函数。请参见 DES 阻尼函数。
Spalart-Allmaras 模型 — 阻尼函数中已给定 $f_{v 1}$ 和 $f_{v 2}$ 。

如 [363] 中所述，系数 $f_{w}^{*}$ 以迭代方式计算为其他模型系数的非线性函数。使用标准模型系数时，它具有值 0.424。

IDDES 公式

对于 Shur 等人的 [361] 中的 IDDES 公式，为已修正壁面距离 $\tilde{d}$ 的计算引入了额外两个函数以添加壁面建模的 LES (WMLES) 功能：混合函数 $f_{B}$ 和所谓的“提升”函数 $f_{e}$ 。

长度尺度 $\tilde{d}$ 计算如下：

图 5. EQUATION_DISPLAY

\tilde{d} = \tilde{f_{d}} (1 + f_{e}) d + (1 - \tilde{f_{d}}) {ψ C}_{D E S} Δ_{I D D E S}

(1412)

其中：

图 6. EQUATION_DISPLAY

f_{B} = min [2 exp (- 9 α^{2}), 1]

(1413)

图 7. EQUATION_DISPLAY

α = 0.25 - \frac{d}{Δ}

(1414)

图 8. EQUATION_DISPLAY

f_{e} = max [(f_{e 1} - 1), 0] ψ f_{e 2}

(1415)

图 9. EQUATION_DISPLAY

f_{e 1} = {\begin{matrix} 2 exp (- 11.09 α^{2}) if α \geq 0 \\ 2 exp (- 9 α^{2}) if α < 0 \end{matrix}

(1416)

图 10. EQUATION_DISPLAY

f_{e 2} = 1 - max (f_{t}, f_{l})

(1417)

图 11. EQUATION_DISPLAY

f_{t} = \tanh [{(C_{t}^{2} r_{d t})}^{3}]

(1418)

图 12. EQUATION_DISPLAY

f_{l} = \tanh [{(C_{l}^{2} r_{d l})}^{10}]

(1419)

图 13. EQUATION_DISPLAY

r_{d t} = \frac{ν_{t}}{\sqrt{\nabla v : {\nabla v}^{T}} κ^{2} d^{2}}

(1420)

图 14. EQUATION_DISPLAY

r_{d l} = \frac{ν}{\sqrt{\nabla v {: \nabla v}^{T}} κ^{2} d^{2}}

(1421)

其中， $C_{t}$ 和 $C_{l}$ 为模型系数。

提升函数 $f_{e}$ 中引入的低雷诺数校正函数 $ψ$ 与 DDES 的 LES 模式中此函数的低雷诺数校正角色无关，其纯粹基于经验。

该模型的 WMLES 和 DDES 分支使用修正的 DDES $f_{d}$ 函数版本相组合，如下所示：

图 15. EQUATION_DISPLAY

{\tilde{f}}_{d} = max ((1 - f_{d t}), f_{B})

(1422)

图 16. EQUATION_DISPLAY

f_{d t} = 1 - \tanh [{(C_{d t} r_{d t})}^{3}]

(1423)

其中， $C_{d t}$ 为模型系数。

IDDES 模型也使用更改版本的网格长度尺度 $Δ_{IDDES}$ ，其计算如下：

图 17. EQUATION_DISPLAY

Δ_{IDDES} = min (max (0.15 d, 0.15 Δ, Δ_{min}), Δ)

(1424)

其中， $Δ_{min}$ 是考虑的网格单元中心和相邻网格单元的网格单元中心之间的最小距离。

DES 阻尼函数

Spalart-Allmaras 模型的 DDES 和 IDDES 版本包含对

f_{t 2}

阻尼函数的修正（请参见 Spalart-Allmaras 模型 — 阻尼函数）。

根据 Squires 等人的 [364] 中的建议， $f_{t 2}$ 定义为：

图 18. EQUATION_DISPLAY

f_{t 2} = C_{t 3} exp (- C_{t 4} χ^{2})

(1425)

此修正不会影响对完全湍流的预测，但是会防止涡流粘度到关联层流区域中的虚假上游传播。

DES 模型系数


$C_{d t}$	$C_{D E S}$	$C_{t}$	$C_{l}$
8	0.65	1.63	3.55