约束运动方程

Simcenter STAR-CCM+ 提供的运动选项可将物理约束应用于体运动，例如，强制体在指定平面上移动。这些约束允许某些自由度并限制其他自由度。

本节介绍存在物理约束时运动方程的一般形式。将在单独章节中介绍 Simcenter STAR-CCM+ 提供的约束运动方程中显示的物理量的具体形式（4 自由度操纵运动和平面运动载体）。

约束运动方程由刚体的一般完整约束方程推导得出：

图 1. EQUATION_DISPLAY

ϕ (d, t) = 0

(4900)

其中， $t$ 为时间， $d$ 为坐标矢量：

图 2. EQUATION_DISPLAY

d = (\begin{matrix} r_{x} \\ r_{y} \\ r_{z} \\ ϕ \\ θ \\ ψ \end{matrix})

(4901)

对于受约束体，并非 $d$ 的所有分量都为独立分量。因此，根据广义独立坐标编写 Eqn. (4900) 十分方便。描述刚体运动所需的最小独立变量数由受约束体的自由度数给出：

图 3. EQUATION_DISPLAY

f = 6 - p

(4902)

其中，

p

为总约束数。独立坐标的矢量可以写为：

图 4. EQUATION_DISPLAY

q = (\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \\ ⋮ \\ q_{f} \end{matrix})

(4903)

使用广义坐标时，只需 $f$ 方程。要推导一般约束运动方程，将根据独立坐标编写基准坐标系中的体位置（相关坐标） $r^{g}$ 和方向矩阵 $T^{g}$ ：

图 5. EQUATION_DISPLAY

\begin{array}{l} r^{g} = r (q, t) \\ T^{g} = T (q, t) \end{array}

(4904)

对这些方程求微分，得到平移和旋转速度为：

图 6. EQUATION_DISPLAY

\begin{array}{l} v^{g} = \frac{\partial}{\partial q} r \dot{q} + \frac{\partial}{\partial t} r = J_{T} \dot{q} + v' \\ ω^{g} = \frac{\partial}{\partial q} t \dot{q} + \frac{\partial}{\partial t} t = J_{R} \dot{q} + ω' \end{array}

(4905)

其中， $J_{T} = \partial r / \partial q$ 和 $J_{R} = \partial t / \partial q$ 为 $3 \times f$ 平移和旋转的雅可比矩阵， $\partial t = {(\begin{matrix} \partial t_{x} & \partial t_{y} & \partial t_{z} \end{matrix})}^{T}$ 为刚体围绕其进行旋转的瞬时矢量。

对 Eqn. (4905) 求微分，得到刚体的加速度：

图 7. EQUATION_DISPLAY

\begin{array}{l} {\dot{v}}^{g} = J_{T} \ddot{q} + L_{T} + \dot{v}' \\ {\dot{ω}}^{g} = J_{R} \ddot{q} + L_{R} + \dot{ω}' \end{array}

(4906)

其中：

图 8. EQUATION_DISPLAY

\dot{v'} = \frac{\partial^{2} r}{\partial t^{2}}

(4907)

且

图 9. EQUATION_DISPLAY

\begin{array}{l} L_{T} = \frac{\partial}{\partial q} (J_{T} \dot{q}) + 2 \frac{\partial}{\partial q} v' \\ L_{R} = \frac{\partial}{\partial q} (J_{R} \dot{q}) + 2 \frac{\partial}{\partial q} v' + \frac{\partial}{\partial t} J_{R} \end{array}

(4908)

约束条件下的控制方程则可以写为：

图 10. EQUATION_DISPLAY

\overline{M} \ddot{q} + \overline{N} = F^{g}

(4909)

且

图 11. EQUATION_DISPLAY

\bar{M} = (\begin{matrix} m J_{T} \\ M^{g} J_{R} \end{matrix})

(4910)

且

图 12. EQUATION_DISPLAY

\overline{N} = (\begin{matrix} m \cdot L_{T} \overset{\cdot}{q} + m \cdot \dot{v}' + m [(J_{R} \ddot{q} + L_{R} \overset{\cdot}{q} + ω') \times r_{P C} + (J_{R} \overset{\cdot}{q} + ω') \times ((J_{R} \overset{\cdot}{q} + ω') \times r_{P C})] \\ M^{g} \cdot L_{R} \overset{\cdot}{q} \cdot M^{g} \cdot ω' + (J_{R} \overset{\cdot}{q} + ω') \times M^{g} \cdot (J_{R} \overset{\cdot}{q} + ω') \end{matrix})

(4911)

其中， $m$ 为体质量， $M^{g}$ 为基准坐标系中的惯性矩张量， $r_{P C}$ 为位置矢量，用于描述旋转中心与质心之间的距离。仅对于平面运动载体机构， $r_{P C} \neq 0$ 。对于所有其他运动， $r_{P C} = 0$ 。

力与力矩矢量 $F^{g}$ 定义如下：

图 13. EQUATION_DISPLAY

F^{g} = (\begin{matrix} f^{g} \\ n^{g} \end{matrix})

(4912)

$F^{g}$ 可分成两部分：

图 14. EQUATION_DISPLAY

F^{g} = F^{i, g} + F^{q, g}

(4913)

$F^{i, g}$ 表示作用于体的外力（或力矩）。这些力可从流体流或任何外部源获取。 $F^{q, g}$ 表示保持给定约束的力（或力矩）。

要消除 $F^{q, g}$ ，可在 Eqn. (4909) 的两侧同时乘以 $J^{T}$ ，代入 Eqn. (4913)，然后使用 $J^{T} F^{q} = 0$ 。获得：

图 15. EQUATION_DISPLAY

(J^{T} \overline{M}) \ddot{q} + J^{T} \overline{N} = J^{T} F^{i, g}

(4914)

此方程具有 $f = 6 - p$ 个变量。