流边界条件

自由流

对于自由表面模拟，自由表面的形状预先未知，并使用任意拉格朗日-欧拉 (ALE) 方法作为求解的一部分进行计算。

运动条件

自由流运动条件如下：

$$\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}=0$$

(1050)

其中， $\mathbf{v}$ 为速度矢量， $\mathbf{n}$ 为边界上的单位法向。

动态条件

自由表面处的动态边界条件定义公式为：

$$-{\mathbf{n}}_{\mathrm{\Gamma }}\cdot ({\mathbf{T}}_1-{\mathbf{T}}_2)=2H\sigma {\mathbf{n}}_{\mathrm{\Gamma }}+{\nabla }_s\sigma$$

(1051)

其中：

• ${\mathbf{T}}_1$ 和 ${\mathbf{T}}_2$ 是自由表面或交界面的任一侧上区域 1 和 2 中的流体应力张量。
• $\sigma$ 为表面张力。
• $H$ 是与单位法向相关的平均曲率（根据 $2H\gamma =-{\nabla }_s\cdot {\mathbf{n}}_{\mathrm{\Gamma }}$ ）
• ${\mathbf{n}}_{\mathrm{\Gamma }}$ 是自由表面或交界面的任一侧上从区域 1 指向区域 2 的单位法向。
• ${\nabla }_s$ 是表面梯度，其定义为 ${\nabla }_s=(\mathbf{I}-{\mathbf{n}}_{\mathrm{\Gamma }}{\mathbf{n}}_{\mathrm{\Gamma }})\cdot \nabla$

由于此项仅涉及弱形式的边界项，因此只有 Eqn. (1024) 的上一项（边界项）等于：

$$\begin{array}{cc}-\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }{\tilde{\mathbf{v}}}_h\cdot \left[({\mathbf{T}}_1-{\mathbf{T}}_2)\cdot {\mathbf{n}}_{\mathrm{\Gamma }}\right]d\mathrm{\Gamma }& =\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }{\tilde{\mathbf{v}}}_h\cdot (2H\sigma {\mathbf{n}}_{\mathrm{\Gamma }}+{\nabla }_s\sigma )d\mathrm{\Gamma }\hfill \\ & =\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }2H\sigma ({\tilde{\mathbf{v}}}_h\cdot {\mathbf{n}}_{\mathrm{\Gamma }})d\mathrm{\Gamma }+\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }{\tilde{\mathbf{v}}}_h\cdot {\nabla }_s\sigma d\mathrm{\Gamma },\forall \tilde{\mathbf{v}}\in {\left(H_1^0\right)}^3\hfill \end{array}$$

(1052)

按照 Ruschak [281] 建议的方法，上述方程将转换，从而规避表面张力梯度和曲率的显式计算，给出：

$$-\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }{\tilde{\mathbf{v}}}_h\cdot \left[({\mathbf{T}}_1-{\mathbf{T}}_2)\cdot {\mathbf{n}}_{\mathrm{\Gamma }}\right]d\mathrm{\Gamma }=\underset{C}{\oint }\sigma ({\tilde{\mathbf{v}}}_h\cdot \mathbf{m})dC-\underset{\mathrm{\Gamma }}{\oint }\sigma {\nabla }_s\cdot {\tilde{\mathbf{v}}}_{h}d\mathrm{\Gamma },\forall \tilde{\mathbf{v}}\in {\left(H_1^0\right)}^3$$

(1053)

其中：

• $\mathbf{m}$ 是向外指向的双法向单位矢量，与曲面相切，并沿表面的边垂直于边界曲线： $\mathbf{m}=\mathbf{t}\times {\mathbf{n}}_{\mathrm{\Gamma }}$ 。
• $\mathbf{t}$ 是单位相切矢量。
• $C$ 是封闭表面 $\mathrm{\Gamma }$ 的轮廓。

注意，表面张力梯度（Marangoni 应力）和毛管压力都是从此方程的应用中隐式显示的。

拖曳

拖拽边界仅涉及弱型边界项。请参见 Eqn. (1024) 中的最后项。拖拽边界条件包括：

无拖曳

边界项为零，因此不对边界项执行任何计算。

拖曳速度

在所有三个方向上施加速度矢量的狄利克雷边界条件，同时边界的法向方向为指定值，而边界的切线方向为零。因此，边界项同为零（如上所述， $\tilde{\mathbf{v}}$ 按定义在具有狄利克雷条件的边界处为零）。

已对齐出口

在拉伸的法向方向施加零拖曳。为边界的切线方向施加两个零狄利克雷条件。

法向速度

与拖曳速度类似，但切线方向除外，在切线方向拖曳为零，而不是零狄利克雷。

开放边界

仅当自由表面和粘弹性模型处于活动状态时，此选项才可用。上述边界上的积分是根据域中变量的值精确计算的，因此边界的存在会导致域值不发生更改。

质量流量入口

对于质量流量入口边界，速度矢量的切向分量必须为零：

质量流量入口处的压力值如下：

其中：

• $R$ 为流体阻力，它是一个常数。
• $\dot{m}$ 为边界处提供的质量流率。
• $\rho$ 为流体的密度。
• $A$ 为入口边界的面积。

压力出口

对于压力出口边界，速度矢量的切向分量必须为零：

压力值必须等于为出口边界提供的指定值：

对称平面

对于对称平面边界，速度矢量的法向分量必须为零：

速度入口

对于速度入口边界，速度矢量的切向分量必须为零：

入口处的压力值如下：

其中， $v_{\text{avg}}$ 为在边界处指定的速度平均值。

壁面

无滑移壁面

在无滑移壁面处，速度矢量的所有分量（法向和切向分量）必须为零：

$$\begin{array}{c}\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}=0\\ \mathbf{v}-(\mathbf{v}\cdot \mathbf{n})\mathbf{n}=0\end{array}$$

(1061)

滑移壁面

使用粘性流模型模拟粘性流时，将根据幂次定律滑移关系计算滑移壁面边界条件。单位表面的剪切力 ${\mathbf{f}}_s$ 与滑移速度 ${\mathbf{v}}_s$ 相关（根据 [178][185]）：

$${\mathbf{f}}_s=-k_s{\left|{\mathbf{v}}_s\right|}^{n_s-1}{\mathbf{v}}_s$$

(1062)

其中：

• $k_s$ 是滑移系数。
• $n_s$ 是滑移指数。

剪切力和滑移速度定义为：

$${\mathbf{f}}_s=\mathbf{T}\cdot {\mathbf{n}}_w-\left[(\mathbf{T}\cdot {\mathbf{n}}_w)\cdot {\mathbf{n}}_w\right]{\mathbf{n}}_w$$

$${\mathbf{v}}_s=(\mathbf{v}-{\mathbf{v}}_w)-\left[(\mathbf{v}-{\mathbf{v}}_w)\cdot {\mathbf{n}}_w\right]{\mathbf{n}}_w$$

其中：

• ${\mathbf{n}}_w$ 是从壁面指向外的单位法向。
• ${\mathbf{v}}_w$ 是壁面速度。
• $\mathbf{T}$ 是总流体动力应力张量。

拖曳

拖拽边界仅涉及弱型边界项。请参见 Eqn. (1024) 中的最后项。拖拽边界条件包括：

无拖曳

边界项为零，因此不对边界项执行任何计算。

拖曳速度

在所有三个方向上施加速度矢量的狄利克雷边界条件，同时边界的法向方向为指定值，而边界的切线方向为零。因此，边界项同为零（如上所述， $\tilde{\mathbf{v}}$ 按定义在具有狄利克雷条件的边界处为零）。

已对齐出口

在拉伸的法向方向施加零拖曳。为边界的切线方向施加两个零狄利克雷条件。

法向速度

与拖曳速度类似，但切线方向除外，在切线方向拖曳为零，而不是零狄利克雷。

开放边界

仅当自由表面和粘弹性模型处于活动状态时，此选项才可用。上述边界上的积分是根据域中变量的值精确计算的，因此边界的存在会导致域值不发生更改。