多相流的平滑颗粒流体动力学 (SPH) 法

平滑颗粒流体动力学 (SPH) 是一种无网格的拉格朗日数值方法，它克服了有限体积法的体网格相关限制，同时仍基于纳维-斯托克斯方程。此方法特别适用于具有高动态自由表面流和复杂移动几何的应用场景。

SPH 建模方法最初由 Gingold 和 Monaghan [240] 和 Lucy [263] 开发，用于对天体物理学问题建模。Monaghan 后来调整了该方法以模拟自由表面流体流动 [[269]。按照 SPH，流体离散化为动态基本点（称为颗粒），它们之间没有预定义的连接。这些颗粒以流速移动，并且其物理量根据其位置计算。SPH 中的基本概念是内核（平滑）函数，该函数考虑指定半径范围内相邻颗粒对彼此的影响。

与基于体网格的方法（需要显式跟踪两相之间的交界面）不同，SPH 直接模拟两相流体之间相互作用的自由表面。因此，颗粒表示密度较高的流体（通常是液体），而密度较低的流体（通常是气体）由非离散化空间表示。

在 Simcenter STAR-CCM+ 中，颗粒的质量守恒和动量守恒方程在拉格朗日架构内计算。

连续性方程

SPH 流体的质量守恒由连续性方程得出：

图 1. EQUATION_DISPLAY

\frac{d ρ}{d t} + ρ \nabla \cdot v = 0

(1096)

其中：

$ρ$ 为流体颗粒的密度。
$v$ 为连续体速度。
$\frac{d}{d t}$ 为拉格朗日时间导数。

动量方程

动量的变化率由作用于连续体的体积力来平衡。SPH 的动量守恒方程由以下公式给出：

图 2. EQUATION_DISPLAY

ρ \frac{d v}{d t} = - \nabla (p I) + \nabla T + f_{b}

where:

(1097)

$p$ 为压力。
$I$ 为单位矩阵。
$T$ 为粘性应力张量。采用 SPH 时，流体由显式本构方程表示，该方程通过恒定粘度将粘性应力张量与速度场相关联。此线性关系在流体中的剪切应力与剪切速率之间建立了正比例关系。对于不可压缩流，它可以表示为，其中。 $T = 2 μ D$ $D = \frac{1}{2} (\nabla v + {(\nabla v)}^{T})$
$f_{b}$ 为体积力（重力和离心力）的合力。

状态方程

Simcenter STAR-CCM+ 中实现的 SPH 模型不可压缩。

图 3. EQUATION_DISPLAY

ρ = ρ_{0}

(1098)

其中为恒定密度。 $ρ_{0}$

重力: 重力导致的体积力作为源项添加到动量方程中：
图 4. EQUATION_DISPLAY

$f_{b} {= g ρ}_{0}$

(1099)

体积分区

模拟 SPH 多相流时，液体所占的体积细分为一组动态基本点。求解域中的气相将忽略，且不会在气体体积范围内分配任何点。液相点以流动速度移动：

图 5. EQUATION_DISPLAY

\frac{d r}{d t} = v

(1100)

其中 {117} $rr$ {130} 为位置矢量。对于体积分区，更新点的体积需要使用局部方程。沿速度场移动的控制体积的体积膨胀率可以表示为： $v$ $V$

图 6. EQUATION_DISPLAY

\frac{d V}{d t} = V \nabla \cdot v

(1101)

点的体积在时间上保持恒定，即对于不可压缩流，系统内的净体积不会随时间变化。