局部填充方法

局部填充方法可处理具有以下特点的不可压缩粘性液体：只有部分填充一定体积，其余体积部分填充空气或其他气体。主要用途是对注塑的填充阶段进行建模。

此方法使用固定网格，并通过水平集函数的常数值定义交界面。这与网格不固定的自由表面模型形成对比。

粘性流求解器使用守恒水平集方法来处理与空气接触的流体交界面的追踪。[242]。此方法通过求解水平集函数的方程来定义相之间的交界面：

其中：

• $\varphi$ 为级别集函数，变化范围是 0（干燥区域，无粘性流体）到 1（湿区域，充满粘性流体），且 为明显的分界面。 $\varphi =0.5$
• $\mathbf{n}$ 为单位法向，定义为 。 $\mathbf{n}=\frac{\nabla \varphi }{\left|\nabla \varphi \right|}$
• $\mu$ 且 为模型参数。 $ϵ$ 必须选择足够小的参数 ，以确保锐化交界面包围的面积守恒 ()，但较小的 值存在数值限制，因为选择相对于网格单元尺寸太小的值会导致单位法向和曲率计算不精确。 $ϵ$ $\varphi =0.5$ $ϵ$ 这也会导致在重新初始化阶段很难达到完全收敛。根据 Olsson 等人[273]，Simcenter STAR-CCM+ 使用：

  $$ϵ={Ch}^{1-d}$$

  (1085)

  其中：

  • $C$ 为任意常数，。 $C\approx O\left(1\right)$
  • $h$ 为网格单元尺寸。
  • $0<d<1$ 为在局部填充模型中设置的扩散指数，默认值为 0.1。

该方法将 Eqn. (1084) 分为两个方程，一个用于平流，一个用于稳定。一个时间步的纯平流零部件为：

流线迎风 Petrov-Galerkin (SUPG) 格式将稳定纯平流方程。（请参见流线迎风 Petrov-Galerkin。）SUPG 参数在局部填充模型中设置，其默认值为 1。此方程的求解为稳定零部件提供了初始猜测值，即：

Eqn. (1087) 称为重新初始化阶段。

为了获得重新初始化阶段的变分形式，我们将上述方程乘以加权函数 $\tilde{\varphi }$，然后对整个域积分：

其中，$H_0^1\left(\mathrm{\Omega }\right)$ 为平方可积函数的 Sobolev 空间，其一阶导数也是平方可积，在具有重要（狄利克雷）边界条件的边界处的幅值为零。

其中，${\mathbf{e}}_n$ 表示向外指向包围域 $\mathrm{\Omega }$ 的边界 $\partial \mathrm{\Omega }$ 的单位法向矢量。可以在壁面上忽略上述方程中的第三（边界）项，其中场变量的通量为零。但是，可以施加质量和速度入口的狄利克雷边界条件 ($\varphi =1$)。

总而言之，解决局部填充问题的方法为：

1. 对单个时间步求解纯平流（传输）方程 Eqn. (1086)。
2. 求解重新初始化方程 Eqn. (1087) 以保证质量守恒。
3. 仅在湿区域中求解流体方程（即，其中 $\varphi >0.5$），以确定压力、速度和相关值。
4. 确定速度场之后，返回到步骤 1 并重复该循环，直到满足停止条件为止。

表面张力

要对流体之间的交界面张力角色建模，可以将表面张力作为体积力添加到动量方程中，如 Ruschak [281] 中所示。在这种情况下，表面张力体积力 $f_{\mathrm{s}\mathrm{t}}$ 根据下式与水平集函数相关：

$$f_{\mathrm{s}\mathrm{t}}=-\gamma \left[\nabla \cdot \left(\frac{\nabla \varphi \nabla \varphi }{\left|\nabla \varphi \right|}\right)-\nabla \left|\nabla \varphi \right|\right]$$

其中 $\gamma$ 为流体之间的交界面张力。