充分发展流和能量

充分发展流出现在较长的管或管排中。对于无热传递或传输标量的简单流，可将压力之外的所有流体变量视为周期性变量。通常会在交界面处有跃变的条件下对压力建模，该跃变可补偿流过系统的流向压降。在存在能量的情况下，如果温度和/或焓的分布在使用适当的缩放比例时变为自相似，则可视为发生充分发展。在这些情况下，可使用自相似性关系从流出处交界面边界重新缩放温度分布，以在流入交界面边界处使用。

根据使用固定温度壁面假设还是固定热通量假设，充分发展能算法的机制有所不同。对于固定温度壁面假设，比例缩放为：

图 1. EQUATION_DISPLAY

\frac{T_{w} - T}{T_{w} - T_{b}} = const

(1806)

因此，必须指定壁面温度 $T_{w}$ 和总体温度 $T_{b}$ 。

对于固定热通量假设，标度律为：

图 2. EQUATION_DISPLAY

T - T_{b} = const

(1807)

因此必须指定总体温度。

充分发展能假设的有效性

假设管道中流体的流向坐标为 $x$ ，交叉流坐标为 $y$ 。根据定义，热传递系数 $h$ 与 $x$ 无关时，将出现充分发展的热传递：

图 3. EQUATION_DISPLAY

h = \frac{{\dot{q}}_{w}}{T_{w} - T_{b}} = - \frac{k}{T_{w} - T_{b}} \frac{\partial T}{\partial y} |_{w} \neq f (x)

(1808)

对于固定属性流体，总体温度 $T_{b}$ 定义为：

图 4. EQUATION_DISPLAY

T_{b} = \frac{1}{{A U}_{m}} \int_{A}^{} u T d A

(1809)

平均速度 $U_{m}$ 定义为：

图 5. EQUATION_DISPLAY

U_{m} = \frac{1}{A} \int_{A}^{} u d A

(1810)

假设 $u$ 和 $U_{m}$ 与 $x$ 无关，但 $T_{b}$ 是 $x$ 的函数。由于 $T_{w}$ 和 $T_{b}$ 与 $y$ 无关，因此可以得出：

图 6. EQUATION_DISPLAY

N u = \frac{h l}{k} = - \frac{\partial}{\partial (y / l)} (\frac{T_{w} - T}{T_{w} - T_{b}}) |_{w} \neq f (x)

(1811)

表明存在无量纲温度分布：

图 7. EQUATION_DISPLAY

θ (y / l) = \frac{T_{w} - T}{T_{w} - T_{b}} \neq f (x)

(1812)

或同样，由于 $\partial θ / \partial x = 0$ ：

图 8. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial T_{w}}{\partial x} - \frac{\partial T}{\partial x} = \frac{T_{w} - T}{T_{w} - T_{b}} (\frac{\partial T_{w}}{\partial x} - \frac{\partial T_{b}}{\partial x})

(1813)

在固定壁面热通量的情况下，由于 $h$ 和 $\dot{q}^{'}^{'}$ 均为常数， $T_{w} - T_{b}$ 等于常数，因此：

图 9. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial T}{\partial x} = \frac{\partial T_{w}}{\partial x} = \frac{\partial T_{b}}{\partial x}

(1814)

也就是说，对于固定壁面热通量，总体温度和壁面温度均随流向距离线性增加（请参见固定热通量图）。这种线性增加意味着，各种流向位置处的温度分布仅相差固定偏移，如下所示：

图 10. EQUATION_DISPLAY

T (r, x) - T_{b} (x) = T (r, x + L) - T_{b} (x + L)

(1815)

这意味着，如果已知因（固定）壁面热通量造成的总体温度增加，则即便壁面温度未知，仍可求解。

下图显示了具有固定热通量的充分发展热场的总体温度和壁面温度的行为：

在固定壁面温度情况下，能量方程中因对流项导致的流动方向上的温度偏导数将替换为：

图 11. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial T}{\partial x} = θ \frac{\partial T_{b}}{\partial x}

(1816)

因此，能量方程的其余部分可以仅作为 $y / l$ 的函数写入。但是，温度分布必须使用总体温度和壁面温度进行缩放。此外，总体温度随管道中的流向距离 $x$ 非线性增加（如下图所示），导致局部温度也相应地非线性增加。

具有壁面温度的充分发展热场的总体温度和壁面温度的行为：

本节已定义且仅定义两种允许管道中充分发展热传递的情况：

具有固定热通量的壁面
具有固定温度的壁面

对于不同几何，生成的温度分布可能会有所不同。下图显示穿过圆形管道的层流固定属性流体的分布形状。

固定热通量边界条件应用于受电阻加热或辐射通量影响的壁面。而当外壁受相变（如冷凝或沸腾）影响时，则接近固定温度壁面。这两种加热情况也适用于热交换器。当流体容量率相同时，固定热通量情况对应于逆流热交换器。固定温度求解适用于任何其中一种材料的容量率明显大于其他材料的热交换器。除蒸发器和冷凝器之外，其他材料也可以是较大热容量的加热固体。