网格变形的伴随

给定目标或成本函数的最终灵敏度相对设计参数（即， $\frac{d L}{d D}$ ）。这些灵敏度通常用于解决形状优化问题。

设计参数 $D$ 定义形状的网格坐标 $X (D)$ 。网格变形策略旨在根据设计参数使形状的初始基线网格 $X^{0}$ 变形，从而演变出新形状 $X (X^{0}, D)$ 。在 Simcenter STAR-CCM+ 中用于伴随法的网格变形算法是径向基函数 (RBF) 变形算法。该变形算法的伴随求导可计算：

图 1. EQUATION_DISPLAY

\frac{d L^{T}}{d D} = \frac{d X^{T}}{d D} \frac{d L^{T}}{d X}

(5087)

其中， $\frac{d L^{T}}{d X}$ 为提供的最终网格灵敏度。

在形状优化过程中，通过 Eqn. (5087) 计算得出的设计参数灵敏度是计算新设计参数值的基础。变形根据这些新值使形状的网格坐标产生变形。

最初

使用径向基函数，在参考位置 $x^{0}$ 附近插入的位置 $x$ 由下式给出

图 2. EQUATION_DISPLAY

x (x^{0}) = α + \sum_{j = 1}^{N} β_{j} ϕ_{j} (r_{j} (x^{0}))

(5088)

其中

图 3. EQUATION_DISPLAY

r_{j} (x^{0}) = ‖ x^{0} - x_{j}^{0} ‖

(5089)

有两种类型的径向基函数：含紧支撑的径向基函数和含全局支撑的径向基函数。此处仅考虑一个全局支撑函数，即：复二次双调和函数 $ϕ (r)$ ，如下所示：

图 4. EQUATION_DISPLAY

ϕ_{j} (r_{j}) = \sqrt{r_{j}^{2} + c_{j}^{2}}

(5090)

且常数 $c_{j} = 0, \forall j$ 。对于域中的一组（ $N$ 个）离散参考位置，通过将 Eqn. (5088) 写为以下方程，可以计算该域中的所有 $M$ 个插值位置：

图 5. EQUATION_DISPLAY

[\begin{matrix} x_{1} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} ⋮ \end{matrix} \\ {\begin{matrix} x \end{matrix}}_{M} \end{matrix} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1_{1} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} ⋮ \end{matrix} \\ 1_{M} \end{matrix} \end{matrix}] α + [\begin{matrix} ϕ_{1, 1} & \dots & ϕ_{1, N} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ϕ_{M, 1} & \dots & ϕ_{M, N} \end{matrix}] [\begin{matrix} β_{1} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} ⋮ \end{matrix} \\ β_{N} \end{matrix} \end{matrix}]

(5091)

其中， $N \times M$ 矩阵的分量使用径向基函数进行计算

图 6. EQUATION_DISPLAY

ϕ_{i, j} = ϕ_{j} (r_{j} (x_{i}^{0}))

(5092)

Eqn. (5091) 的连续插值函数 Eqn. (5088) 或其离散形式需要系数 $α$ 和 $β_{1} ... β_{N}$ 。这些系数由 $N$ 个已知的插值位置或设计参数 ( $D = d_{1} ... d_{N}$ ) 和以下额外约束确定

图 7. EQUATION_DISPLAY

\sum_{j = 1}^{N} β_{j} = 0

(5093)

根据 Eqn. (5088) 和 Eqn. (5093)，构造方程组来求解未知系数：

图 8. EQUATION_DISPLAY

[\begin{matrix} ϕ_{1, 1} & \dots & ϕ_{1, N} & 1_{1} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ϕ_{N, 1} & \dots & ϕ_{N, N} & 1_{N} \\ 1_{1} & \dots & 1_{N} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} β_{1} \\ ⋮ \\ {\begin{matrix} β \end{matrix}}_{N} \\ α \end{matrix}] = [\begin{matrix} d_{1} \\ ⋮ \\ d_{N} \\ 0 \end{matrix}]

(5094)

伴随

从函数的角度来看，变形的独立变量为 $D = d_{1} ... d_{N}$ ，其非独立变量为 $x$ （连续形式）和 $X = x_{1} ... x_{M}$ （离散形式）。位置 $X^{0}$ 是方程组的常数。由于仅变形的离散形式相关，因此所需的雅可比为：

图 9. EQUATION_DISPLAY

J_{X} = \frac{d X}{d D}

(5095)

通过对 Eqn. (5091) 应用链式法则，推导得出雅可比正切 $j$ Eqn. (5095)：

图 10. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial X}{\partial d_{j}} = [\begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial d_{j}} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} ⋮ \end{matrix} \\ \frac{\partial x_{M}}{\partial d_{j}} \end{matrix} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1_{1} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} ⋮ \end{matrix} \\ 1_{M} \end{matrix} \end{matrix}] \frac{\partial α}{\partial d_{j}} + [\begin{matrix} ϕ_{1, 1} & \dots & ϕ_{1, N} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ϕ_{M, 1} & \dots & ϕ_{M, N} \end{matrix}] [\begin{matrix} \frac{\partial β_{1}}{\partial d_{j}} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} ⋮ \end{matrix} \\ \frac{\partial β_{N}}{\partial d_{j}} \end{matrix} \end{matrix}]

(5096)

系数 $α$ 和 $β_{1} ... β_{N}$ 相对 $d_{j}$ 的导数通过求解以下方程组确定：

图 11. EQUATION_DISPLAY

[\begin{matrix} ϕ_{1, 1} & \dots & ϕ_{1, N} & 1_{1} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ϕ_{N, 1} & \dots & ϕ_{N, N} & 1_{N} \\ 1_{1} & \dots & 1_{N} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} \frac{\partial β_{1}}{\partial d_{j}} \\ ⋮ \\ \frac{\partial β_{N}}{\partial \begin{matrix} d_{j} \end{matrix}} \\ \frac{\partial α}{\partial d_{j}} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{\partial d_{1}}{\partial d_{j}} \\ ⋮ \\ \frac{\partial d_{N}}{\partial \begin{matrix} d_{j} \end{matrix}} \\ 0 \end{matrix}]

(5097)

因此，求解正切导数要求能够计算特定输入的 Eqn. (5091) 和 Eqn. (5094)。

伴随变形计算的目的是计算 Eqn. (5087)。此方程右侧的第二项已提供（请参见成本函数相对流体和能量求解的灵敏度），因此变形伴随必须计算这两项的乘积，即： ${\frac{d L}{d D}}^{T}$ 。

此乘积通过对 Eqn. (5091) 应用链式法则并转置结果推导得出：

图 12. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial \begin{matrix} α \end{matrix}} = {[\begin{matrix} 1_{1} \\ ⋮ \\ 1_{M} \end{matrix}]}^{T} [\begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial x_{1}} \\ ⋮ \\ \frac{\partial L}{\partial x_{M}} \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial β_{1}} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} ⋮ \end{matrix} \\ \frac{\partial L}{\partial β_{N}} \end{matrix} \end{matrix}] = {[\begin{matrix} ϕ_{1, 1} & \dots & ϕ_{1, N} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ϕ_{M, 1} & \dots & ϕ_{M, N} \end{matrix}]}^{T} [\begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial x_{1}} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} ⋮ \end{matrix} \\ \frac{\partial L}{\partial x_{M}} \end{matrix} \end{matrix}] \end{matrix}

(5098)

计算 Eqn. (5098) 时，伴随通过求解以下方程组获得：

图 13. EQUATION_DISPLAY

{[\begin{matrix} ϕ_{1, 1} & \dots & ϕ_{1, N} & 1_{1} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ϕ_{N, 1} & \dots & ϕ_{N, N} & 1_{N} \\ 1_{1} & \dots & 1_{N} & 0 \end{matrix}]}^{T} [\begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial d_{1}} \\ ⋮ \\ \frac{\partial L}{\partial \begin{matrix} d_{N} \end{matrix}} \\ t \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial β_{1}} \\ ⋮ \\ \frac{\partial L}{\partial \begin{matrix} β_{N} \end{matrix}} \\ \frac{\partial L}{\partial α} \end{matrix}]

(5099)

其中，将放弃结果 $t$ 。