相对边界参数的灵敏度

基于边界条件修改的目标优化需要该目标相对于边界参数的灵敏度，即 $\frac{dL}{d{Q}_b}$ 。

考虑以下形式的成本函数 $L$ ：

其中， $Q$ 为以下非线性离散方程组的求解：

$R$ 为流体方程的残差， $Q_b$ 为施加的边界条件。

由于此方程组的求解 $Q$ 取决于施加的边界条件 $Q_b$ ，因此 $L$ 对 $Q_b$ 不仅具有显式相关性，还存在隐式相关性。 目标是量化此相关性。

可通过与网格相关性类似的方式实现该相关性的量化，即通过对残差方程求微分并将结果代入目标微分中：

可通过使用以下公式简化此方程：

其中，可通过 Eqn. (5085) 获得流体伴随 ${\mathbf{\text{Λ}}}_Q$ 的求解。

此简化会产生：

从 Eqn. (5104) 中可以看到，成本函数相对于边界条件的灵敏度计算包含两个步骤：

• 成本函数对所施加边界条件的显式相关性的微分。
• 考虑由 Eqn. (5104) 中第二项给出的隐式相关性，其需要获得全局伴随求解。