相对设计参数的灵敏度

基于设计修改的目标优化需要该目标相对于设计参数的灵敏度，即 $\frac{d L}{d D}$ 。

导数

\frac{d L}{d D}

由序列

(X (D); Q (X); L (Q, X))

中的每个运算的雅可比链给出：

图 1. EQUATION_DISPLAY

\frac{d L}{d D} = [\frac{\partial L}{\partial X} + \frac{\partial L}{\partial Q} \frac{\partial Q}{\partial X}] \frac{d X}{d D}

(5064)

考虑

n

个设计变量

D

和一个具有

m

个点的网格

X

。运算

X (D)

的雅可比为此运算的所有一阶偏导数的矩阵：

图 2. EQUATION_DISPLAY

\frac{d X}{d D} = [\begin{matrix} \frac{\partial X_{1}}{\partial D_{1}} & \dots & \frac{\partial X_{1}}{\partial D_{n}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial X_{m}}{\partial D_{1}} & \dots & \frac{\partial X_{m}}{\partial D_{n}} \end{matrix}] = J_{X}

(5065)

其中，此矩阵的每列是相切，每行是雅可比梯度。

对于大量设计变量 $D$ ，根据内存，Eqn. (5064) 的计算成本很高。要解决此问题，方程的导数可由 $J_{X}$ 的切线组成。即，Simcenter STAR-CCM+ 计算：

图 3. EQUATION_DISPLAY

\frac{d L}{d D_{i}} = [\frac{\partial L}{\partial X} + \frac{\partial L}{\partial Q} \frac{\partial Q}{\partial X}] \frac{d X}{d D_{i}}

(5066)

（为 $J_{X}$ 的所有列）。

此方法虽然可以解决一个问题，但是会带来另一个问题，因为随着设计变量 $D$ 的数量增加，计算时间也会线性增加。虽然对于很多工程问题，设计变量 $D$ 的数量较大（这将排除相切法），但是通常仅需要少数输出 $L$ 。如果反转相切法，这可能会产生用于计算整个系统的导数的有效方式。通过为特定的 $J_{L}$ 梯度采用系统导数的转置，可实现此目的：

图 4. EQUATION_DISPLAY

{\frac{d L_{j}}{d D}}^{T} = {\frac{d X}{d D}}^{T} [{\frac{\partial L_{j}}{\partial X}}^{T} {+ \frac{\partial Q}{\partial X}}^{T} {\frac{\partial L_{j}}{\partial Q}}^{T}]

(5067)

Eqn. (5067) 表示（根据介绍中所列步骤序列的伴随）实际的最终灵敏度 $\frac{d L}{d D}$ 的构建方式的基本形式。

Eqn. (5067) 的求解步骤为：

根据求解 ${\frac{\partial L_{j}}{\partial Q}}^{T}$ 计算报告目标的灵敏度。此求解分析还会根据网格计算任何直接灵敏度，即 ${\frac{\partial L_{j}}{\partial X}}^{T}$ 。请参见求解分析的伴随。
根据网格计算报告目标的灵敏度，即 Eqn. (5067) 中最右侧的项：
${\frac{d L_{j}}{d X}}^{T} = {\frac{\partial L_{j}}{\partial X}}^{T} + {\frac{\partial Q}{\partial X}}^{T} {\frac{\partial L_{j}}{\partial Q}}^{T}$

请参见物理求解的伴随。
执行可计算 ${\frac{d L_{j}}{d D}}^{T}$ ,，即 ${\frac{d X}{d D}}^{T}$ 与上一步中 ${\frac{d L_{j}}{d X}}^{T}$ 的结果的乘积。计算的项用于描述报告目标相对于网格设计参数的灵敏度。网格变形的伴随将提供径向基本函数变形的伴随推导。