表面灵敏度

最初

表面灵敏度的公式以弹簧模拟网格变形策略为基础。但是，Simcenter STAR-CCM+ 不使用此策略来实际执行网格变形。相反，此方法仅用于衍生可提供表面灵敏度的近似伴随网格。

对于这种策略，使用弹簧对相邻网格单元之间的耦合建模。力平衡用于根据边界面上的指定位移来求解网格单元中心的位移。

对于域内部的网格单元，网格单元 $i$ 的力平衡要求与相邻网格单元关联的力的总和为零：

其中：

对于域边界上的网格单元，力平衡仍要求力的平衡。不过，边界面处的位移是已知物理量，可以移到方程右侧：

其中，$\delta x_b$ 表示应用于边界面的位移，$k_{\mathrm{ib}}$ 为弹簧连接网格单元 $i$ 和边界面的弹簧常数。仅在内部面上执行求和。

这些方程可以在整个域中同时求解，生成以下形式的线性系统：

其中， $B$ 定义为：

通过反转矩阵 $K$ 计算每个网格单元形心的位移：

最后，计算域中每个节点的位移。对于内部节点，节点位移是所有相邻网格单元上网格单元形心位移的平均值。对于边界上的节点，位移是所有相邻边界面上指定位移的平均值。

伴随

要计算表面灵敏度，以相反顺序对上述主要公式求微分。此伴随计算的输入是相对于网格 $\frac{dL}{dX}$ 的成本函数灵敏度。输出是相对于表面位移 $\frac{dL}{d\left(\delta x_b\right)}$ 的成本函数灵敏度。输出与表面上的每个面相关联，表示由各个面形心的位移导致的目标值更改。

第一步是根据 $\frac{dL}{dX}$ 计算相对于网格单元形心和边界面形心位移的灵敏度。通过在网格单元的节点上求转置平均值来确定相对于网格单元形心的导数：

其中，$n_k^{\left(c\right)}$ 为与节点 $k$ 相邻的网格单元数。

相对于边界面形心的导数 $\frac{\partial L}{\partial \left(\delta x_b\right)}$ 由边界面节点的转置平均值 $\frac{dL}{dX}$ 给定：

其中，$n_k^{\left(b\right)}$ 为与节点 $k$ 相邻的边界面数。

由于此网格变形过程为线性，因此通过将矩阵 $K$ 的转置反转到 $\frac{\partial L}{\partial \left(\delta x\right)}$ 矢量，得到伴随网格 ${\mathrm{\Lambda }}_X$ 。

总表面灵敏度是两个分量的和。第一个分量是由 Eqn. (5111) 给定的节点灵敏度得出的边界形心位移灵敏度。第二个分量是弹簧模拟方程的灵敏度（相对于与伴随网格相乘的边界位移）。对于连接到网格单元 $i$ 的边界面 $j$ ，表面灵敏度总和由以下公式给出：

表面灵敏度滤波

计算的表面灵敏度 Eqn. (5113) 直接取决于网格。如果直接用于表面变形，则此计算的表面灵敏度可能会导致网格变形。要解决此问题，将显式滤波技术应用于表面灵敏度。

在原始模式下，显式滤波器将标量设计场转换为平滑位移场。此过程的伴随矩阵在导数计算期间使用，以基本使灵敏度平滑。位移场被定义为：

其中：

滤波器本身根据与局部法向矢量结合的距离被定义为高斯滤波器：

其中：

滤波器具有对法向场和控制场进行平均化的效果，因为它是使用函数的第二个参数进行计算的。将各滤波器分解为单独的分量，则它们将变为：

在此形式下，滤波器简缩为三个物理量的标准滤波： $n_x\delta s,n_y\delta s,n_z\delta s$ 。给定一组边界点（其坐标为 ${\overrightarrow{x}}_i$ ）时，滤波器可以写成以下矩阵形式：

其中， $\left[n_x\right],\left[n_y\right],\left[n_z\right]$ 为对角矩阵，每个单元一个法向矢量分量。滤波器矩阵的单元为：

由于滤波器基于各点之间的距离，因此它是对称的。 ${\left[H\right]}^T=\left[H\right]$ 。

要计算此过程的伴随矩阵，将转换每个分量的滤波过程：

最终灵敏度包括滤波器在原始模式下的应用，因此为矢量场。