声学模态分析

声学模态分析模型计算给定几何和 CFD 求解的声频、归一化模态形状及其线性增长率。

声波方程

声波方程（不均匀亥姆霍兹方程）描述流体中的声波：

图 1. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial^{2} p^{'}}{\partial t^{2}} - \nabla\cdot ({\bar{c}}^{2} \nabla p^{'}) = (γ - 1) \frac{\partial {\dot{q}}^{'}}{\partial t}

(4770)

其中

p^{'}

为声压波动，

t

为时间，

\bar{c}

为平均声速，

γ

为比热比，

{\dot{q}}^{'}

为热释放波动。

谐波波动

假设频率的谐波波动

f = \frac{ω}{2 π}

（其中

ω

为复数），则压力波动

p^{'}

和热释放波动

{\dot{q}}^{'}

分别表示为：

图 2. EQUATION_DISPLAY

p^{'} = \hat{p} e^{(- i ω t)}

(4771)

和

图 3. EQUATION_DISPLAY

{\dot{q}}^{'} = \hat{q} e^{(- i ω t)}

(4772)

。

其中：

$\hat{p}$ 为压力波动幅值，
$\hat{q}$ 为放热波动幅值。

将 Eqn. (4771) 和 Eqn. (4772) 代入声波方程 Eqn. (4770) 可以得出：

图 4. EQUATION_DISPLAY

ω^{2} \hat{p} + \nabla\cdot ({\bar{c}}^{2} \nabla \hat{p}) = i ω (γ - 1) \hat{q}

(4773)

假设

p^{'}

且

{\dot{q}}^{'}

表示网格单元中心值，将 Eqn. (4773) 与网格单元体积积分可以得出：

图 5. EQUATION_DISPLAY

\int ω^{2} \hat{p} d V + \int \nabla\cdot ({\bar{c}}^{2} \nabla \hat{p}) d V = \int i ω (γ - 1) \hat{q} d V

(4774)

离散 Eqn. (4774) 提供以下矩阵特征值方程 - 其特征值是声频

ω

，相应的特征矢量是声学模态形状

\hat{P}

：

图 8. EQUATION_DISPLAY

[A + ω B (ω) + ω^{2} C] \hat{P} = D (ω) \hat{P}

(4777)

其中矩阵

A

考虑波传播项，

B (ω)

考虑阻抗边界条件，

C

等于标识矩阵

I

（除非使用二次阻抗边界），

D (ω)

则表示火焰传递函数 (FTF) 中的燃烧热释放源项，这是从 Eqn. (4777) 中省略的非反应流体的燃烧热释放源项。（请参见火焰传递函数）。

\hat{P}

为尺寸，

N_{c e l l s}

为声学模态的矢量（特征矢量），

ω

是声频（特征值）。

$A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 是尺寸的稀疏矩阵 $N_{c e l l s} \times N_{c e l l s}$ ，其中 $N_{c e l l s}$ 是网格中的网格单元数。在 Eqn. (4774) 中离散扩散项时，Simcenter STAR-CCM+ 提供了包括二阶梯度项或省略该项的选项。

声压

\hat{p}

的相位计算如下：

图 14. EQUATION_DISPLAY

φ = \arctan (\frac{I m (\hat{p})}{Re (\hat{p})})

(4783)

不稳定模态

声频由实部 (

ω_{r}

) 和虚部 (

ω_{i}

) 组成：

图 15. EQUATION_DISPLAY

ω = ω_{r} + i ω_{i}

(4784)

使用上述表达式，压力波动可以表示为：

p^{'} = \hat{p} e^{- i ω t} = [\hat{p} e^{ω_{i} t}] e^{- i ω_{r} t}

(4785)

当

ω_{i} < 0

时，压力波动会随时间而衰减，并且模态稳定。如果

ω_{i} > 0

，压力波动会随时间增长，并且模态不稳定。在

ω_{i} = 0

的情况下，压力波动的幅值保持恒定。

边界条件

Simcenter STAR-CCM+ 可通过以下方式定义声学边界条件：

完全反射（硬壁）边界: 图 16. EQUATION_DISPLAY

$\nabla \hat{p} \cdot n_{B C} = 0$

(4786)
零声压边界: 图 17. EQUATION_DISPLAY

$\hat{p} = 0$

(4787)
指定（恒定）阻抗边界: 图 18. EQUATION_DISPLAY

$\bar{c} Z \nabla \hat{p} \cdot n_{B C} - i ω \hat{p} = 0$

(4788)
其中，声阻抗指定反射波的幅值和相位，并且每个频率的幅值和相位均相同。
二次阻抗分布边界: 声阻抗是声频 $Z \equiv Z (ω)$ 的函数，阻抗使用二次形式指定：
图 19. EQUATION_DISPLAY

$\frac{1}{Z} = \frac{1}{Z_{0}} + ω Z_{1} + \frac{Z_{2}}{ω}$

(4789)
其中 $Z_{0}$ 、 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 是复数值常数。