1D 动量法

风轮机从风动能中提取机械能。它充当促动盘，在转子平面中将风速从 $U_{0}$ 减慢到 $U$ ，然后在尾流中进一步将风速减慢到 $U_{1}$ 。从上游移动到下游，速度将减慢且流线发散以满足连续性。

1D 动量法向动量方程添加源项来对风轮机的效应进行建模。源项将考虑理想水平轴风轮机 (HAWT) 随尾流旋转产生的轴向效应和切向效应。当分析中包含尾流旋转时，转子上的感应速度由作用在转子平面中的轴向分量 $a$ 和切向分量 $a′$ 组成。

该公式基于使用半径为 $r$ 、厚度为 $d r$ 的环形流管。（请注意，这不是盘体厚度。）根据此定义，横截面积 $d A$ 为 $2 π r d r$ 。下图显示了该公式中使用的示意图和符号：

推力分布

风轮机的总推力由以下公式给出：

图 1. EQUATION_DISPLAY

T = \frac{1}{2} {ρ_{0} U}^{2}_{0} C_{t} π ({R_{0}}^{2} - {R_{i}}^{2})

(5007)

在宽度为 $d r$ 、半径为 $r$ 的孔环上，推力为：

图 2. EQUATION_DISPLAY

d T = \frac{1}{2} ρ_{0} {U^{2}}_{0} C_{t} 2 π r d r

(5008)

该理论假设无穷薄盘体的厚度为零，而为有限厚度 $δ$ 的虚拟盘体添加源项。因此，单元推力 $Δ T$ 可以理解为每个 $Δ r$ 环每单位盘体厚度 $δ$ 的推力：

图 3. EQUATION_DISPLAY

Δ T = \frac{1}{2} {ρ_{0} U}^{2}_{0} C_{t} 2 π r Δ r

(5009)

使用 Eqn. (5007)，此方程可以改写为：

图 4. EQUATION_DISPLAY

Δ T = T \frac{2 r Δ r}{({R_{0}}^{2} - {R_{i}}^{2})}

(5010)

环带内每单位体积的推力的形式为：

图 5. EQUATION_DISPLAY

\frac{Δ T}{Δ V} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{ρ_{0} U}^{2}_{0} C_{t}}{δ} = \frac{T}{δ π ({R_{0}}^{2} - {R_{i}}^{2})}

(5011)

其中， $δ π ({R_{0}}^{2} - {R_{i}}^{2})$ 为盘体的几何体积。

每单位体积的推力与 $r$ 无关。推力的二次式取决于 $r$ ，但每个环的体积也随 $r$ 呈二次性增加，因此每单位体积的推力保持恒定。对于环内的每个网格单元：

图 6. EQUATION_DISPLAY

T_{c e l l} = \frac{Δ T}{Δ V} V_{c e l l}

(5012)

Eqn. (5012) 需要进行比例缩放，因为并非所有网格单元都完全位于盘体内。比例缩放因子为：

$\frac{V_{g e o m}}{\sum_{a l l c e l l s}^{} V_{c e l l}}$

其中

$V_{g e o m} = π ({R_{0}}^{2} - {R_{i}}^{2})$

每个网格单元的推力由以下公式给出：

图 7. EQUATION_DISPLAY

T_{c e l l} = T \cdot \frac{V_{c e l l}}{\sum_{a l l c e l l s}^{} V_{c e l l}}

(5013)

$T_{c e l l}$ 对应于给定网格单元（网格单元中心位于虚拟盘体内）的轴向力 $F_{a x i a l}$ 。

扭矩分布

扭矩分布对应于切向力计算。给定流入平面处的速度 $U_{0}$ ，可从用户指定的功率曲线表或多项式中提取风轮机输出的功率 $P$ 。根据该值，扭矩的计算方法如下：

$Q = \frac{P}{Ω}$

其中， $Ω$ 为旋转速率。此扭矩作为切向力分布在盘体网格单元上。

对于宽度为 $d r$ 、厚度为 $δ$ 的孔环，通过应用角动量守恒可得出单元扭矩 $d Q$ 。在孔环单元上，由此得出：

图 8. EQUATION_DISPLAY

d Q = d \dot{m} (ω r) (r) = (ρ U 2 π r d r) (ω r) (r)

(5014)

由于 $U = U_{0} (1 - a)$ 且 $a′ = ω / (2 Ω)$ ，因此单元扭矩表达式简化为：

图 9. EQUATION_DISPLAY

d Q = 4 a′ (1 - a) \frac{1}{2} ρ U_{0} Ω r^{2} 2 π r d r

(5015)

对 Eqn. (5015) 进行积分：

图 10. EQUATION_DISPLAY

\int_{}^{} d Q = 4 a′ (1 - a) \frac{1}{2} ρ U_{0} Ω 2 π r \int_{R_{i}}^{R_{0}} r^{3} d r

(5016)

扭矩现在为：

图 11. EQUATION_DISPLAY

Q = a′ (1 - a) \frac{1}{2} ρ U_{0} Ω π ({R_{0}}^{4} - {R_{i}}^{4})

(5017)

要衍生每单位孔环体积的扭矩表达式，通过使用 Eqn. (5017) 改写 Eqn. (5015)：

图 12. EQUATION_DISPLAY

Δ Q = \frac{4 Q r^{3} Δ r}{{R_{0}}^{4} - {R_{i}}^{4}}

(5018)

每单位孔环体积的扭矩 $Δ V = 2 π δ r Δ r$ 则为：

图 13. EQUATION_DISPLAY

\frac{Δ Q}{Δ V} = \frac{2 Q r^{2}}{π δ \cdot ({R_{0}}^{4} - {R_{i}}^{4})}

(5019)

孔环内每个网格单元的扭矩为：

图 14. EQUATION_DISPLAY

Q_{c e l l} = \frac{Δ Q}{Δ V} \cdot V_{c e l l} = \frac{2 Q r_{c e l l}^{2} V_{c e l l}}{π δ \cdot ({R_{0}}^{4} - {R_{i}}^{4})}

(5020)

由于 $\sum_{}^{} V_{c e l l} \neq V_{g e o m}$ ，因此需要应用比例缩放。比例缩放因子为：

图 15. EQUATION_DISPLAY

s c f = \frac{V_{g e o m} \cdot \frac{1}{2} ({R_{0}}^{2} + {R_{i}}^{2})}{\sum_{a l l c e l l s}^{} {{r_{c e l l}}^{2} V}_{c e l l}}

(5021)

应用比例缩放时：

图 16. EQUATION_DISPLAY

Q_{c e l l} = \frac{2 Q r_{c e l l}^{2} V_{c e l l}}{π δ \cdot ({R_{0}}^{4} - {R_{i}}^{4})} \cdot s c f

(5022)

$V_{g e o m} = π ({R_{0}}^{2} - {R_{i}}^{2}) δ$ 时，可进一步简化 Eqn. (5022)：

图 17. EQUATION_DISPLAY

Q_{c e l l} = \frac{Q r_{c e l l}^{2} V_{c e l l}}{\sum_{a l l c e l l s}^{} {{r_{c e l l}}^{2} V}_{c e l l}}

(5023)

给定网格单元（网格单元中心位于虚拟盘体内）的切向力 $F_{tangential}$ 由以下公式给出：

图 18. EQUATION_DISPLAY

F_{\tan g e n t i a l} = \frac{Q r_{c e l l}^{2} V_{c e l l}}{\sum_{a l l c e l l s}^{} {{r_{c e l l}}^{2} V}_{c e l l}}

(5024)

轴向力和切向力用于相对基准坐标系组合源项矢量。此源项随即会添加到动量方程中。