径向基函数

径向基函数 (RBF) 替代模型通过每个采样点来插补数据。当样本数据点足够时，RBF 可以准确地表示复杂数据。

考虑一个包含个输入参数的设计研究，该研究为设计运行。 $n$ $m$ 该设计研究提供个采样点作为替代模型拟合计算的输入内容。 $m$

$y$ 表示采样响应值的矢量，涉及个参数。 $n$

图 1. EQUATION_DISPLAY

y = [y_{j}] = {[y_{1}, \dots, y_{m}]}^{t}, j \in [1, m]

(5164)

$X$ 表示输入参数矩阵

图 2. EQUATION_DISPLAY

X = [x_{i, j}] = (\begin{matrix} x_{1, 1} & \begin{matrix} {\begin{matrix} x \end{matrix}}_{2, 1} & \dots \end{matrix} & x_{n, 1} \\ \begin{matrix} x_{1, 2} \\ ⋮ \end{matrix} & \begin{matrix} {\begin{matrix} x \end{matrix}}_{2, 2} & \dots \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} {\begin{matrix} x \end{matrix}}_{n, 2} \end{matrix} \\ ⋮ \end{matrix} \\ x_{1, m} & \begin{matrix} \begin{matrix} x_{2, m} \end{matrix} & \dots \end{matrix} & {\begin{matrix} x \end{matrix}}_{n, m} \end{matrix}), i \in [1, n] j \in [1, m]

(5165)

替代计算指示替代函数的确定，该函数会在整个设计空间中为输入参数输出响应值。

x

RBF 替代函数由低次多项式和添加到多项式的数据混合项构成：

f (x)

图 3. EQUATION_DISPLAY

y (x) = p (x) + \sum_{i = 1}^{m} α_{i} \cdot ϕ (r_{i} (x))

(5166)

其中

$p (x)$ 为低次多项式，自动设为常数或设为线性。
$r_{i} (x) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{m} {(x - x_{i})}^{2}}$ 为欧几里德距离，也称为范数，在和每个数据点之间。 $L^{2}$ $x$ $x_{i}$
$ϕ$ 为由拟合函数指定的径向基函数。
$α_{i}$ 为第个数据点的径向基函数系数。 $i^{t h}$ 在替代函数计算过程中，将确定每个数据点的系数。

拟合函数

以下拟合函数（相关性函数）在Design Manager中可用，其中为形状因子（也称为相关性参数）。

θ

RBF 有一个一般形状因子应用于所有采样点：

在Design Manager中，Eqn. (5166) 中多项式项的次数是根据选定的拟合函数自动设置的：

在拟合函数中，形状因子控制每个采样点对替代模型逼近的影响程度。形状因子较小时可增强采样点的影响，而值较大时会减弱影响。

高斯基函数、复二次基函数和逆复二次基函数都需要形状函数值。您必须通过手动实验确定合适的拟合结果，由此可以查看绘图并比较交叉验证值。与克里金方法相比，这些需要调整的 RBF 因子是一个缺点，因为这种调整过程没有目标导向。