基于梯度优化

基于梯度优化是一种数学方法，用于查找目标函数的局部最优值（通常为最小值），同时改变一组相关参数。

对于实际工业案例，通常无法按照要研究的几何参数找到目标函数的解析表达式。当无法直接从解析表达式计算导数时，则根据局部离散值以迭代方式查找通向最小值的路径。

序列二次规划 (SQP) 使用离散一阶导数（梯度）查找目标函数局部最小值的路径。在 Simcenter STAR-CCM+ 中，伴随求解器按照几何参数计算目标函数（成本函数）的必要梯度。

例如，要按照几何参数求得管系统的最小压降，则通过伴随求解器计算必要的梯度信息，然后在Design Manager中启动 SQP 搜索以移至最初猜测中压降最小的点。有关工作流程的更多详细信息，请参见设置基于梯度的优化研究。

梯度计算

目标函数的梯度信息定义如下：

图 1. EQUATION_DISPLAY
dLTdD=dXsurfaceTdD⋅dLTdXsurface
(5176)

其中

  • D 为设计参数的矢量。
  • L 为要在有约束或无约束情况下进行优化的目标。
  • Xsurface 为表面网格。
  • dXsurfaceTdD 为 Simcenter STAR-CCM+ 中的几何灵敏度。请参见几何灵敏度。
  • dLTdXsurface 为 Simcenter STAR-CCM+ 中的表面灵敏度。请参见表面灵敏度。

梯度 是为每个边界表面计算的，即几何灵敏度与表面灵敏度之积。 dLTdD 完成此步骤后，即求得边界上的梯度灵敏度场。

序列二次规划 (SQP) 法

SQP 方法以迭代方式从所选初始点 开始搜索通向最优值的路径。 x0

考虑基于梯度的优化，其中只有一个几何参数作为Design Manager中的输入参数。则目标函数为 。 f(x) 函数的最小值符合 。 f´(x)=0 SQP 使用 的逼近值计算每次迭代时朝向目标函数最小值的路径 。 f(x) Δx

从初始点 开始，可以使用以 为中心的 2 阶泰勒展开式逼近 ： x0 x0 f(x)

图 2. EQUATION_DISPLAY
f(x)≈f(x0)+f⁢´(x0)(x−x0)+12f⁢´´(x0)(x−x0)2
(5177)

所逼近目标函数的最小值在 处。 f´(x)=0 计算该方程的一阶导数：

Eqn. (5177):
图 3. EQUATION_DISPLAY
f⁢´(x)=f⁢´(x0)+f⁢´´(x0)(x−x0)=0
(5178)

根据上面的方程，可以找到下一个点 。 x1=x0−f⁢´(x0)f⁢´´(x0)

按照一般表示法，从点 开始，下一个点是 。 xk xk+1=xk−f⁢´(xk)f⁢´´(xk)

迭代地构建序列 ，用以转向点 - 参数的收敛值，此处出现 的最小值。 x0,x1,…xk,xk+1,…x* x* f(x)

1 阶导数 按 的梯度灵敏度提供。Eqn. (5176) f⁢´(xk)

由于 2 阶导数的计算成本很高，因此在Design Manager中，它由 1 阶导数进行数值估算，如下所示：

f⁢´´(xk)=f⁢´(xk)−f⁢´(xk−1)xk−xk−1

按照优化科学，使用 1 阶和 2 阶导数直接计算 称为牛顿法。 xk+1=xk−f⁢´(xk)f⁢´´(xk) 从上一时间步的 1 阶导数之间进行 2 阶导数插值称为拟牛顿法。

在具有 个参数的优化中，将方程缩放至： n
图 4. EQUATION_DISPLAY
[x1, k+1x2, k+1⋮xn, k+1]=[x1, kx2, k⋮xn, k]−(∇2f)−1⋅∇f⁢     
(5179)

∇f 为目标函数的 1 阶导数，也称为雅可比矩阵：

图 5. EQUATION_DISPLAY
J=∇f=[∂f∂x1⋯∂f∂xn]
(5180)

∇2f 为目标函数的 2 阶导数，也称为黑塞矩阵：

图 6. EQUATION_DISPLAY
H=∇2f=[∂2f∂x12∂2f∂x1∂x2⋯∂2f∂x1∂xn∂2f∂x2∂x1∂2f∂x22⋯∂2f∂x2∂xn⋮                  ⋮          ⋱           ⋮∂2f∂xn∂x1⁢∂2f∂xn∂x2⋯∂2f∂xn2]
(5181)

对于带约束的优化，将简单目标函数 替换为该问题的拉格朗日函数： f(x)

图 7. EQUATION_DISPLAY
L⁢ ⁢(x,λ, σ)=f⁢(x)−λ⁢ h(x)−σ⁢ g(x)
(5182)
其中
  • L⁢  为拉格朗日函数。
  • f(x) 为目标函数。
  • h⁢ (x) 为优化问题的不等式约束，它符合 。 h⁢ (x) ≥0
  • g⁢ (x) 为优化问题的等式约束，它符合 。 g (x) =0
  • λ⁢ 为不等式约束 的拉格朗日乘数。 h⁢ (x)
  • σ 为等式约束 的拉格朗日乘数。 g⁢ (x)

该拉格朗日示例基于假设一个几何参数。可以将方程缩放至包含多个几何参数的矩阵。

则设计空间中的下一点是：

图 8. EQUATION_DISPLAY
[xk+1λk+1σ k+1]=[xkλkσk]−(∇2L)−1⋅∇L
(5183)