基于梯度优化

基于梯度优化是一种数学方法，用于查找目标函数的局部最优值（通常为最小值），同时改变一组相关参数。

对于实际工业案例，通常无法按照要研究的几何参数找到目标函数的解析表达式。当无法直接从解析表达式计算导数时，则根据局部离散值以迭代方式查找通向最小值的路径。

序列二次规划 (SQP) 使用离散一阶导数（梯度）查找目标函数局部最小值的路径。在 Simcenter STAR-CCM+ 中，伴随求解器按照几何参数计算目标函数（成本函数）的必要梯度。

例如，要按照几何参数求得管系统的最小压降，则通过伴随求解器计算必要的梯度信息，然后在Design Manager中启动 SQP 搜索以移至最初猜测中压降最小的点。有关工作流程的更多详细信息，请参见设置基于梯度的优化研究。

梯度计算

目标函数的梯度信息定义如下：

图 1. EQUATION_DISPLAY
d L T d D = d X s u r f a c e T d D ⋅ d L T d X s u r f a c e
(5176)

其中

  • D 为设计参数的矢量。
  • L 为要在有约束或无约束情况下进行优化的目标。
  • X s u r f a c e 为表面网格。
  • d X s u r f a c e T d D 为 Simcenter STAR-CCM+ 中的几何灵敏度。请参见几何灵敏度。
  • d L T d X s u r f a c e 为 Simcenter STAR-CCM+ 中的表面灵敏度。请参见表面灵敏度。

梯度 是为每个边界表面计算的，即几何灵敏度与表面灵敏度之积。 d L T d D 完成此步骤后，即求得边界上的梯度灵敏度场。

序列二次规划 (SQP) 法

SQP 方法以迭代方式从所选初始点 开始搜索通向最优值的路径。 x 0

考虑基于梯度的优化，其中只有一个几何参数作为Design Manager中的输入参数。则目标函数为 。 f ( x ) 函数的最小值符合 。 f ´ ( x ) = 0 SQP 使用 的逼近值计算每次迭代时朝向目标函数最小值的路径 。 f ( x ) Δ x

从初始点 开始，可以使用以 为中心的 2 阶泰勒展开式逼近 ： x 0 x 0 f ( x )

图 2. EQUATION_DISPLAY
f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + f ⁢ ´ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + 1 2 f ⁢ ´´ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2
(5177)

所逼近目标函数的最小值在 处。 f ´ ( x ) = 0 计算该方程的一阶导数：

Eqn. (5177):
图 3. EQUATION_DISPLAY
f ⁢ ´ ( x ) = f ⁢ ´ ( x 0 ) + f ⁢ ´´ ( x 0 ) ( x − x 0 ) = 0
(5178)

根据上面的方程，可以找到下一个点 。 x 1 = x 0 − f ⁢ ´ ( x 0 ) f ⁢ ´´ ( x 0 )

按照一般表示法，从点 开始，下一个点是 。 x k x k + 1 = x k − f ⁢ ´ ( x k ) f ⁢ ´´ ( x k )

迭代地构建序列 ，用以转向点 - 参数的收敛值，此处出现 的最小值。 x 0 , x 1 , … x k , x k + 1 , … x * x * f ( x )

1 阶导数 按 的梯度灵敏度提供。Eqn. (5176) f ⁢ ´ ( x k )

由于 2 阶导数的计算成本很高，因此在Design Manager中，它由 1 阶导数进行数值估算，如下所示：

f ⁢ ´´ ( x k ) = f ⁢ ´ ( x k ) − f ⁢ ´ ( x k − 1 ) x k − x k − 1

按照优化科学，使用 1 阶和 2 阶导数直接计算 称为牛顿法。 x k + 1 = x k − f ⁢ ´ ( x k ) f ⁢ ´´ ( x k ) 从上一时间步的 1 阶导数之间进行 2 阶导数插值称为拟牛顿法。

在具有 个参数的优化中，将方程缩放至： n
图 4. EQUATION_DISPLAY
[ x 1 ,   k + 1 x 2 ,   k + 1 ⋮ x n ,   k + 1 ] = [ x 1 ,   k x 2 ,   k ⋮ x n ,   k ] − ( ∇ 2 f ) − 1 ⋅ ∇ f ⁢          
(5179)

∇ f 为目标函数的 1 阶导数，也称为雅可比矩阵：

图 5. EQUATION_DISPLAY
J = ∇ f = [ ∂ f ∂ x 1 ⋯ ∂ f ∂ x n ]
(5180)

∇ 2 f 为目标函数的 2 阶导数，也称为黑塞矩阵：

图 6. EQUATION_DISPLAY
H = ∇ 2 f = [ ∂ 2 f ∂ x 1 2 ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x n ⋮                                     ⋮                     ⋱                       ⋮ ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 1 ⁢ ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x n 2 ]
(5181)

对于带约束的优化，将简单目标函数 替换为该问题的拉格朗日函数： f ( x )

图 7. EQUATION_DISPLAY
L ⁢   ⁢ ( x , λ ,   σ ) = f ⁢ ( x ) − λ ⁢   h ( x ) − σ ⁢   g ( x )
(5182)
其中
  • L ⁢   为拉格朗日函数。
  • f ( x ) 为目标函数。
  • h ⁢   ( x ) 为优化问题的不等式约束，它符合 。 h ⁢   ( x )   ≥ 0
  • g ⁢   ( x ) 为优化问题的等式约束，它符合 。 g   ( x )   = 0
  • λ ⁢ 为不等式约束 的拉格朗日乘数。 h ⁢   ( x )
  • σ 为等式约束 的拉格朗日乘数。 g ⁢   ( x )

该拉格朗日示例基于假设一个几何参数。可以将方程缩放至包含多个几何参数的矩阵。

则设计空间中的下一点是：

图 8. EQUATION_DISPLAY
[ x k + 1 λ k + 1 σ   k + 1 ] = [ x k λ k σ k ] − ( ∇ 2 L ) − 1 ⋅ ∇ L
(5183)