克里金

克里金是一种基于采样点之间的统计相关性的插值方法。该方法假设采样点之间的距离所反映的空间相关性可用于解释表面变化。

通用克里金求解

考虑一个包含个输入参数的设计研究，该研究为设计运行。 $n$ $m$ 该设计研究提供个采样点作为替代模型拟合计算的输入内容。 $m$

$y$ 表示采样响应值的矢量，涉及个参数。 $n$

图 1. EQUATION_DISPLAY

y = [y_{j}] = {[y_{1}, \dots, y_{m}]}^{t}, j \in [1, m]

(5143)

$X$ 表示克里金计算的输入矩阵，含个参数，涉及个采样点： $n$ $m$

图 2. EQUATION_DISPLAY

X = [x_{i, j}] = (\begin{matrix} x_{1, 1} & \begin{matrix} {\begin{matrix} x \end{matrix}}_{2, 1} & \dots \end{matrix} & x_{n, 1} \\ \begin{matrix} x_{1, 2} \\ ⋮ \end{matrix} & \begin{matrix} {\begin{matrix} x \end{matrix}}_{2, 2} & \dots \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} {\begin{matrix} x \end{matrix}}_{n, 2} \end{matrix} \\ ⋮ \end{matrix} \\ x_{1, m} & \begin{matrix} \begin{matrix} x_{2, m} \end{matrix} & \dots \end{matrix} & {\begin{matrix} x \end{matrix}}_{n, m} \end{matrix}), i \in [1, n] j \in [1, m]

(5144)

克里金替代模型函数包含一个回归项和一个随机过程。 $y (x)$ $z (x)$

替代模型计算根据离散采样点确定以下替代模型函数的系数，构成一个连续函数以预测整个设计空间的响应值。

图 3. EQUATION_DISPLAY

y (x) = \sum_{h = 1}^{p} β_{h} ϕ_{h} (x) + z (x)

(5145)

其中：

$\sum_{h = 1}^{p} β_{h} ϕ_{h} (x)$ 是回归项，表示设计空间中的全局最适合项。
$ϕ_{h} (x)$ 是多项式基本函数。
$p$ 是基本函数中的单项式数。
$β_{h}$ 是多项式系数，在替代模型函数计算中确定。
对于有 2 个输入参数的多项式，多项式基本函数为和。 $x_{1}, x_{2}$ $ϕ_{h} (x) = {1, x_{1}, x_{2}, x_{1} x_{2}, {x_{1}}^{2}, {x_{2}}^{2}}$ $p = 6$
例如，具有系数。 $5 x_{1} + 2 x_{1} x_{2} - 3 {x_{2}}^{2}$ $β_{h} = {0, 5, 0, 2, 0, - 3}$
$z (x)$ 是指实现平均值为零、样本方差为的随机过程。 $σ^{2}$

$z (x)$ 的协方差矩阵计算如下：

图 4. EQUATION_DISPLAY

C o v [z (x_{j}), z (x_{k})] = σ^{2} R

(5146)

其中为相关矩阵。 $R = [R (x_{j}, x_{k})] j, k \in (1, m)$ $x_{j}, x_{k}$ 是两个采样点的输入参数值。采样点的量纲是，来自设计运行次数。 $m$ 因此，相关矩阵的维数为。 $(m \times m)$ $R (x_{j}, x_{k})$ 是用户指定的拟合函数（相关函数）。

拟合函数

以下拟合函数（相关函数）在Design Manager中可用，其中表示输入参数（设计变量）的数量。

n

θ_{i}

是第 i 个相关参数的形状因子：

高斯：

图 5. EQUATION_DISPLAY

$R (x_{j}, x_{k}) = \exp [- \sum_{i = 1}^{n} θ_{i} {\cdot | x_{i, j} - x_{i, k} |}^{2}]$

(5147)
指数：

图 6. EQUATION_DISPLAY

$R (x_{j}, x_{k}) = \exp [- \sum_{i = 1}^{n} θ_{i} \cdot | x_{i, j} - x_{i, k} |]$

(5148)
线性：

图 7. EQUATION_DISPLAY

$R (x_{j}, x_{k}) = \sum_{i = 1}^{n} (\max {0, 1 - θ_{i} \cdot | x_{j} - x_{k} |})$

(5149)
球形：

图 8. EQUATION_DISPLAY

$R (x_{j}, x_{k}) = \sum_{i = 1}^{n} (1 - 1.5 ξ_{i} + 0.5 ξ_{i}^{3})$

(5150)

其中。 $ξ_{i} = \min {1, θ_{i} \cdot | x_{i, j} - x_{i, k} |}$

形状因子与调整

在拟合函数中，形状因子控制每个采样点对替代模型逼近的影响程度。小的形状因子会加强采样点的影响，而大的形状因子会减弱这种影响。

在克里金模型中，多项式项、和的值取决于似然函数的最大化。 $\sum_{h = 1}^{p} β_{h} ϕ_{h} (x)$ $σ^{2}$ $θ = [θ_{1}, θ_{2}, \dots, θ_{n}]$

Simcenter STAR-CCM+ 为克里金提供以下调整选项：

无：关闭自动调整。必须手动调整形状因子。
快速克里金对所有输入参数使用相同值以扫掠一系列固定的形状因子，并选择最佳因子。这种方法通常会提供充足级别的交叉验证。可以改进交叉验证值，方法是在自动调整值附近范围内手动试用各种形状因子。
精确克里金：使用更深入的优化方法为每个输入参数分别改动。 $θ$ 该方法得到的调整结果通常优于快速克里金，但要多消耗计算时间，最多可能多达 15 倍。
高斯过程：向预测器增添了噪声因子，并使用形状因子自动优化预测器，以获得最佳结果。在高斯过程中无法手动修改形状。