残差范数

在数值解期间，Simcenter STAR-CCM+ 可用于通过不同范数监视残差矢量、求解增量和能量增量。

在每次迭代 i 时，Simcenter STAR-CCM+ 都会通过求解线性方程组计算求解更新 ${Δ u}^{i} \in ℝ^{N}$ ：

图 1. EQUATION_DISPLAY

K^{i} {Δ u}^{i} = r^{i}

(4833)

使用牛顿迭代。 $\begin{matrix} K^{i} \in ℝ^{N} \times ℝ^{N} \end{matrix}$ 和 $r^{i} \in ℝ^{N}$ 分别表示第 i 次迭代时的材料相切矩阵和残差矢量，其中 $N$ 为系统大小（即，自由度总数）。

对于固体应力求解器， $r^{i}$ 和 ${Δ u}^{i}$ 表示残余力和位移增量。对于有限元固体能量求解器，它们表示残余通量和温度增量。对于有限元磁矢势求解器，它们表示残差（与电流负载相关）和磁矢势增量。

每次迭代后，求解器计算残差 ( $r^{i}$ )、变量增量 ( ${Δ u}^{i}$ ) 和能量增量 ( $W^{i}$ ) 的范数。指定后，这些范数将根据为第一次迭代计算的范数值进行标准化：

图 2. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \bar{r^{i}} = \frac{‖ r^{i} ‖}{‖ r^{1} ‖}; \end{matrix} & \bar{{Δ u}^{i}} = \frac{‖ {Δ u}^{i} ‖}{‖ {Δ u}^{1} ‖}; & \bar{W^{i}} = \frac{W^{i}}{W^{1}} \end{matrix} \end{matrix}

(4834)

可使用不同的方法计算残差矢量 $‖ r^{i} ‖$ 和变量增量矢量 $‖ {Δ u}^{i} ‖$ 的范数（请参见残差和变量增量范数），而能量增量 $W^{i}$ 则计算为变量增量矢量和残差矢量之间的内积（请参见能量增量）。在固体应力应用中， $W^{i}$ 叫做应变能；在固体能量应用中， $W^{i}$ 叫做热电势；在电磁应用中， $W^{i}$ 为磁能增量。

残差和变量增量范数

Simcenter STAR-CCM+ 可用于通过三个不同的范数监视残差和主变量增量。为了简化表示，以下范数定义考虑使用常规矢量 $a$ 表示第 i 次迭代时的变量增量 ${Δ u}^{i}$ 或残差 $r^{i}$ 。

$a$ 的分量由 $a_{j}$ 表示并且 $j = 1, ..., N$ ，其中， $N$ 为矢量大小（即，系统自由度的总数，Eqn. (4833)）。

最大范数: 矢量 $a$ 的最大范数为其分量 $a_{j}$ 的最大绝对值：
图 3. EQUATION_DISPLAY

${‖ a ‖}_{\max} = \max_{j = 1, ..., N} (| a_{j} |)$
(4835)
L¹ 范数: 矢量 $a$ 的 L¹ 范数为其分量 $a_{j}$ 的绝对值的算术平均值：
图 4. EQUATION_DISPLAY

${‖ a ‖}_{L^{1}} = \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N} | a_{j} |$
(4836)
欧几里德范数: 矢量 $a$ 的欧几里德范数或 L² 范数为根据自身分量数进行标准化的 $a$ 的欧几里德长度：
图 5. EQUATION_DISPLAY

${‖ a ‖}_{L^{2}} = \frac{1}{N} \sqrt{\sum_{j = 1}^{N} a_{j}^{2}}$
(4837)

能量增量

Simcenter STAR-CCM+ 将添加到某次牛顿方法迭代中的能量增量计算为：

图 6. EQUATION_DISPLAY

W^{i} = \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{N} {Δ u}_{j}^{i} r_{j}^{i}

(4838)

其中， ${Δ u}_{j}^{i}$ 和 $r_{j}^{i}$ 为第 i 次迭代时的变量增量矢量和残差矢量的分量， $N$ 为矢量大小。