表观速度公式

Simcenter STAR-CCM+ 通过在动量方程中引入动量汇，对多孔区域中的压力损失进行建模。Simcenter STAR-CCM+ 将用户指定体积孔隙率包括在非稳态项和有效导热率的计算中。

连续性方程: 控制多孔介质中质量平衡的连续性方程如下：
图 1. EQUATION_DISPLAY

$\frac{\partial}{\partial t} (\int_{V}^{} ρ χ) d V + \oint_{A} ρ v_{s} \cdot d a = \int_{V}^{} S_{u} d V$

(1840)

其中， $v_{s}$ 为表观速度， $ρ$ 为流体密度， $a$ 为表面积矢量， $S_{u}$ 为用户自定义质量源或质量汇。

图 2. EQUATION_DISPLAY

f_{p} = - P \cdot v_{s}

(1841)

多孔阻力张量包括两个分量：

图 3. EQUATION_DISPLAY

P = P_{v} + P_{i} | v_{s} |

(1842)

其中， $P_{v}$ 为粘性（线性）， $P_{i}$ 为惯性（二次）阻力张量。此源项表示产生压降的动量汇。

多孔介质的动量平衡则由以下公式给出：

图 4. EQUATION_DISPLAY

\begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial t} (\int_{V}^{} ρ v_{s}) d V + \oint_{A}^{} ρ v_{s} \otimes v_{s} \cdot d a = \\ - \oint_{A}^{} p I \cdot d a + \oint_{A}^{} T \cdot d a + \int_{V}^{} f_{b} d V + \int_{V}^{} f_{p} d V + \int_{V}^{} S_{u} d V \end{array}

(1843)

其中， $f_{b}$ 为包含所有其他体积体力的体力矢量， $I$ 为单位矩阵， $f_{p}$ 为由 Eqn. (1841) 给出的多孔阻力。

能量方程: 多孔介质的能量方程由以下公式给出：
图 5. EQUATION_DISPLAY

$\frac{\partial}{\partial t} \int_{V} (χ {(ρ E)}_{fluid} + (1 - χ) {(ρ C_{p})}_{solid} T) d V + \oint_{A}^{} ρ H v_{s} \cdot d a = - \oint_{A}^{} \dot{q} ″ \cdot d a + \oint_{A}^{} T \cdot v_{s} d a + \int_{V}^{} f_{b} \cdot v_{s} d V + \int_{V}^{} S_{u} d V$

(1844)

其中， $H$ 为总焓，热通量 $\dot{q} ″$ 定义为：
图 6. EQUATION_DISPLAY

$\dot{q} ″ = {- k}_{eff} \nabla T$

(1845)

且
图 7. EQUATION_DISPLAY

$k_{eff} = χ k_{fluid} + (1 - χ) k_{solid}$

(1846)

其中， $k_{e f f}$ 为多孔介质的有效导热率， $k_{fluid}$ 为流体的导热率， $k_{solid}$ 为固体的导热率。

多孔阻力对不可压缩流温度的影响

当模拟通过多孔介质的不可压缩流并求解能量时，温度将与用户指定的多孔阻力成比例发生变化。

考虑以下示例：恒定 $C_{v}$ （恒定体积时的比热）流体的一维稳态不可压缩流穿过恒定横截面的多孔介质。

质量守恒需要速度 $v$ 保持恒定。动量守恒将会简化，以便在压力梯度 $d p / d x$ 和多孔阻力 $f_{p}$ 之间保持平衡：

图 8. EQUATION_DISPLAY

f_{p} = \frac{d p}{d x}

(1847)

能量方程简化为：

图 9. EQUATION_DISPLAY

\frac{d H}{d x} = 0

(1848)

并且由于总焓为 $H = C_{v} T + \frac{p}{ρ} + \frac{v^{2}}{2}$ ，方程变为：

图 10. EQUATION_DISPLAY

\frac{d T}{d x} = \frac{- 1}{ρ c_{v}} \frac{d p}{d x} = \frac{- f_{p}}{ρ c_{v}}

(1849)

因此，通过多孔介质的不可压缩流出现温度升高或降低的情况十分正常。