谐波平衡颤振

由于叶片颤振是一个振动问题，因此可以采用正弦函数表示，从而可以采用傅立叶级数来解决。

位移实部和位移虚部

作为谐波平衡方程基础的傅立叶级数可以表示为三角函数，或等效表示为复数的指数函数。在后一种形式中，表达式包括位移实部和位移虚部。

如果 $v_{r}$ 和 $v_{i}$ 是指定的位移实部和位移虚部，则每个时间级别 $k$ 下的物理位移 $d x$ 计算如下：

图 1. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} d x (t_{k}) & = & (v_{r}, v_{i}) exp (\frac{i (2 π k)}{N}) + (v_{r}, {- v}_{i}) exp (\frac{- i (2 π k)}{N}) \\ = & 2 v_{r} (\cos \frac{(2 π k)}{N}) - 2 v_{i} (\sin \frac{(2 π k)}{N}) \end{matrix}

(5058)

其中， $t_{k}$ 表示时间级别 $k$ （其中 $k$ 介于 0 和 $N - 1$ 之间）下的物理时间， $N$ 为时间级别数， $(v_{r}, v_{i})$ 表示复数（其中 $v_{r}$ 和 $v_{i}$ 分别为复数的实部和虚部）。

在转子参考坐标系中，使用叶片间相位角 $σ$ 和颤振频率 $ω$ 来描述该运动。例如，

图 2. EQUATION_DISPLAY

h_{i} = h_{0} e^{j ω t} e^{(j σ θ_{i}) / G_{θ}}

(5059)

其中， $G_{θ}$ 为叶片到叶片的间隙（以弧度为单位）。按节径编写时，Eqn. (5059) 变为

图 3. EQUATION_DISPLAY

h_{i} = h_{0} e^{j ω t} e^{j N θ_{i}}

(5060)

其中， $N = σ / G_{θ}$ 。此运动表示行波，就像转子的运动一样。在此情况下，得到按以下旋转速率移动的 $N$ 节径波

图 4. EQUATION_DISPLAY

Ω_{r e l} = - ω / N = - (ω G_{θ}) / σ

(5061)

此转子速率相对于用于颤振转子的参考坐标系。因此，在绝对参考坐标系中，旋转速率为

图 5. EQUATION_DISPLAY

Ω_{a b s} = Ω_{r o t o r} - ω / N

(5062)

为了计算频率和节径，将在模式表中另外增加一行。例如，假如定子具有 36 个叶片，转子具有 42 个叶片，以 366 弧度/秒的速度旋转。假设转子叶片以 180 $°$ 的叶片间相位角和 2000 弧度/秒的频率颤振。要构建模式表：

计算颤振运动的节径 $N$ ：
$N = σ / G_{θ} = (180 °) / ((360 °) / 42) = 21$
计算扰动速率 $Ω_{a b s}$ ：
$Ω_{a b s} = Ω_{r o t o r} - ω / N = 366 弧度/秒 - （ 2000 弧度/秒） / 21 = 270.76 弧度/秒$
构造具有三行的模式表：
$(B_{0}, B_{1}, B_{2}) = (21, 36, 42)$

$(Ω_{0}, Ω_{1}, Ω_{2}) = (270.76, 0.0, 366.0) 弧度/秒$