设计热传递优化研究

在数学中，优化是指从一组可用的替代元素中选择最佳元素（相对于某种标准）的过程。在最简单的情况下，优化问题是指系统地从一系列允许的数据集内选择输入值并计算函数值，以最大化/最小化实际函数（即目标函数）。

通常，优化是指查找给定定义域（包括各种不同的目标函数和约束）内某一目标函数的“最佳可用”值。多目标优化（即：具有多个目标函数的优化问题）使优化问题变得极为复杂。并非始终能够满足所有目标函数，因此需要权衡。例如，不能同时最小化表面温度和表面热通量。优化问题往往呈多模态：它们拥有多个正确解，这些解可以均为全局正确解（即：具有相同的目标函数值），也可以是全局和局部正确解的混合。使用传统的优化方法求多个解时，往往会因迭代法而无法得出令人满意的结果。也就是说，即使在算法的多次运行中使用不同的起点，也无法保证得出不同的解。但是，改进后的算法能够求出多个解，并普遍适用于需要多个解的情况。

对工程师来说，优化有助于实现以下两个重要目标：

程序调整和验证
例如，重现先前计算或相关的实验。
通过允许为当前应用选择一整套“最佳”模型、参数和几何，满足设计规范和约束。
例如，哪些形状可最大程度地提高热通量，但又受到具有固定体积的约束。

在流体和热传递应用中使用优化时，注意以下几点：

确定要最小化或最大化的目标函数（也称为成本函数或实用工具函数）。
例如，最小化表面最高温度、最小化通过弯管或接点之后的下游涡旋，或最大化表面热通量。
确定搜索目标函数极值时需要考虑的一组重要的模型和参数。
例如，材料属性、边界长度、表面形状、域大小和边界条件。

对输入参数空间执行一次一个参数灵敏度研究并找出对求解具有重大影响的任何参数（这些参数有时称为“大旋钮”）时，此操作十分有用。通过监视目标函数值的变化、查看其偏导数或使用线性回归，可以测量灵敏度。但是，此方法无法充分探索输入空间，因为它不考虑输入变量的同时变化，因此无法检测输入变量的相互作用。但它比较简便，建模者通常乐于使用此方法。因为当模型失败时，建模者可以立即知道是哪一个输入参数导致失败。
用于解决优化问题的数学方法取决于目标函数和约束的形式，以及期望使用的结果（例如，程序调整或设计）。
必须确定哪一种优化方法最适合当前问题：仅需查找局部解？还是必须要查找全局解？亦或需要多个解？

最简单的情况是无约束的问题，或者是所有约束均可表示为平等关系的问题。对于这类问题，可以使用拉格朗日乘数法有效找到最佳解。

另一种常用方法是响应面分析。在此方法中，需使用截断的输入参数空间（例如，从一次一个参数灵敏度分析中获得）定义一组有限合理的参数值集合（例如，基于均匀拉丁超立方采样），然后将响应面（局部或全局）拟合至目标函数结果。创建响应面之后，可轻松使用微积分来定义方程组，其解表示相关截断输入参数空间中目标函数的最小值或最大值。但是，此方程组的求解并非始终很容易。当目标函数相对输入参数空间局部或全局平滑时，这种方法十分有效。这种平滑性使得解能够利用目标函数最小值很好地表示超表面。

对于涉及不平等关系的问题，拉格朗日乘数法无法有效对此类问题求解。必须使用现代数学编程法（例如，线性和非线性编程，其中目标和约束可为线性或非线性函数）得出最佳解。