对称张量场函数

STAR-CCM+ 为对称张量值的场函数提供支持。这些函数在内部存储为 3 x 3 对称矩阵的六个浮点值。

对称张量值场函数目前仅由有限元固体应力模块生成，但它们可以构造并用于一般计算。类似于矢量值场函数，可以访问对称张量的各个分量，对它们执行坐标转换，并对它们计算常见的代数运算。

构造

在场函数表达式编辑器中，对称张量值变量必须以 $$$ 作为前缀。

对称张量变量通过以下方式构造：


操作	表达式语法	结果
3 x 3 下三角形指定	[1 ; 2,3 ; 4,5,6]	$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}]$
3 x 3 上三角形指定	[1,2,3 ; 4,5 ; 6]	$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{matrix}]$

注	对称张量支持所有基本算术运算，除了两个对称张量的乘法。两个对称张量的乘法会产生非对称张量，因此当前版本的 STAR-CCM+ 不支持此操作。

通过相似转换将对称张量转换为局部坐标系。例如，用户自定义场函数表达式

$$$A( @CoordinateSystem("Laboratory.Sph1") )

将对称张量 $A$ 转换为局部球坐标系 Sph1，其父项是基准坐标系。使 $R$ 表示 3 x 3 正交矩阵，该矩阵将矢量 $v_{s}$ 从 Sph1 转换为基准坐标。该转换的数学形式为：

图 1. EQUATION_DISPLAY

A_{s} = R^{T} A R

(10)

$R$ 的这些列是 Sph1 中的（位置相关）局部基准。

$A_{s}$ 的分量现在相对于 Sph1 中特定位置的局部基准。（回想一下，局部曲线坐标系的单位基矢量取决于该局部坐标系内的坐标。） $A_{s}$ 与 $v_{s}$ 的矩阵矢量积，

图 2. EQUATION_DISPLAY

A_{s} v_{s} = R^{T} A R v_{s}

(11)

因此相当于将 $v_{s}$ 转换为基准坐标系，应用 $A$ ，然后将结果转换回 Sph1。在 STAR-CCM+ 中，可以对任何对称张量 $A$ 和任何矢量 $v$ （均在基准坐标系中）验证该表达式

$$$A(@CoordinateSystem("Laboratory.Sph1")) *
$$v(@CoordinateSystem("Laboratory.Sph1"))

产生的值是否与通过以下方式产生的值相同

($$$A*$$v)(@CoordinateSystem("Laboratory.Sph1"))

自

图 3. EQUATION_DISPLAY

(R^{T} A R) (R^{T} v) = R^{T} (A v)

(12)

在每个坐标系中选择对称张量的分量时，以下标签对应于相应的矩阵项：


坐标系类型	张量分量
Laboratory(基准)	$\begin{matrix} {i i = a}_{00} & i j = a_{01} & i k = a_{02} \\ j j = a_{11} & j k = a_{12} & k k = a_{22} \end{matrix}$
局部笛卡尔坐标系	$\begin{matrix} {i i = a}_{00} & i j = a_{01} & i k = a_{02} \\ j j = a_{11} & j k = a_{12} & k k = a_{22} \end{matrix}$
圆柱	$\begin{matrix} {r r = a}_{00} & r θ = a_{01} & r z = a_{02} \\ θ θ = a_{11} & θ z = a_{12} & z z = a_{22} \end{matrix}$
球体	$\begin{matrix} {r r = a}_{00} & r θ = a_{01} & r ϕ = a_{02} \\ θ θ = a_{11} & θ ϕ = a_{12} & ϕ ϕ = a_{22} \end{matrix}$