示例：多孔介质中的流体建模

可以使用用户自定义势能力对毛细管压力进行建模。下面演示了示例应用“多孔介质中的流体建模”。

在没有重力的情况下，多孔介质中气液流的动量平衡为：

图 1. EQUATION_DISPLAY

0 = - γ_{g} α_{g} u_{g} - α_{g} \nabla P

(292)

图 2. EQUATION_DISPLAY

0 = - γ_{l} α_{l} u_{l} - α_{l} \nabla (P + P_{c})

(293)

其中， $γ (α)$ 为相的水力阻力。

如果忽略气相的阻力，则 $\nabla P = 0$ ，并且：

图 3. EQUATION_DISPLAY

α_{l} u_{l} = - \frac{α_{l}}{γ_{l}} \nabla P_{c}

(294)

将 Eqn. (294) 代入质量平衡方程 $\partial_{t} α_{l} = - \nabla\cdot α_{l} u_{l}$ 可得出 Richards 方程 ([533])：

图 4. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial α_{l}}{\partial t} = \nabla\cdot (\frac{α_{l}}{γ_{l}} \nabla P_{c})

(295)

Richards 方程是非线性偏微分方程，并且该文献中只提供了少数分析求解。但是，如果阻力和毛细管压力满足以下方程：

图 5. EQUATION_DISPLAY

\frac{α_{l}}{γ_{l}} \frac{ⅆ P_{c} (α_{l})}{ⅆ α_{l}} = C

(296)

则 Eqn. (295) 可以表示为：

图 6. EQUATION_DISPLAY

\frac{\partial α_{l}}{\partial t} = C \nabla^{2} α_{l}

(297)

在此示例中，使用了以下模型：

图 7. EQUATION_DISPLAY

\begin{matrix} P_{c} = - G_{0} \frac{C}{α_{l}^{m}} & γ_{l} = G_{0} \frac{m}{α_{l}^{m}} \end{matrix}

(298)

其中， $m > 0$ 和 $G_{0}$ 为任意常数。要使惯性和粘度效应忽略不计，将 $G_{0}$ 保持为较高的值 ( $G_{0} = 10^{3}$ )。

采用以下初始条件的一维方程 (Eqn. (297)) 的求解：

图 8. EQUATION_DISPLAY

α_{l, 0} = \frac{1}{2} + A \cos (C \frac{π}{L} x)

(299)

为：

图 9. EQUATION_DISPLAY

α_{l} = \frac{1}{2} + A \exp (- C {(\frac{π}{L})}^{2} t) \cos (C \frac{π}{L} x)

(300)

要在 Simcenter STAR-CCM+ 中实现此模型，应执行以下操作：

下面显示了模拟结果的示例：10 秒后的体积分数绘图。初始条件绘制为绿色，Eqn. (300) 中的分析值绘制为红色，数值结果绘制为蓝色。

可以更改（Eqn. (298) 中的） $m$ 和 $G_{0}$ ，因为这些常数对求解没有影响。