本文描述Fluent声学计算中的波动方程模型。

与Ffowcs  Williams和Hawkings（FW-H）积分模型相似，该模型基于波动方程的有限体积解算器，通过计算产生声音的背景流动来获得有关声源的信息。与FW-H模型不同，FW-H模型计算的是选定的接收点位置的声音信号，而波动方程模型可以在整个模拟域中传递声场。从这个意义上讲，该模型类似于直接模拟方法。然而，与直接模拟不同的是，波动方程模型允许用户看到独立与流动压力的声压分布。

1 局限性

波动方程模型存在以下局限性：

• 背景流动必须为低马赫数下的单相流，密度或声速无明显变化
• 忽略对流效应
• 不支持2D轴对称模型
• 瞬态格式必须是启用second order或bounded second order的隐式格式（不支持显式格式和一阶隐式时间格式的流动求解器）
• 计算域和网格必须是静止的。不支持动网格及动参考系
• 不支持重叠网格
• 将计算出的声音传输到远程位置的积分解算器尚未实现

2 控制方程与边界条件

以声势表示的波动方程可表示为：

式中，为流体静压力的局部瞬时值；为恒定流体密度；为恒定声速。

在低马赫数时，可以忽略声音的对流输运，因此声压计算采用简化关系：

Fluent中支持下列波动方程的边界条件类型：

• Walls。所有的壁面都被认为是声学坚硬的，理想性地反射声音
• 可渗透边界（入口、出口、远场边界）。这些边界采用非反射条件进行处理
• 对称以及周期边界

非一致静止网格界面可用于声学模型。然而，在这些界面上可能会创建局部壁面区域来处理明显的几何偏差，从而会反射声音，并可能会影响到声学求解。因此建议避免使用这样的非物理壁面，除非它们被海绵区域覆盖。

3 防止声波的非物理反射

以下内容详细介绍了防止声波非物理反射的一些策略和注意事项，这些非物理反射对计算结果的精度有很大影响。

3.1 网格质量

众所周知，波动方程的数值解对网格中具有声波长度量级或更大尺寸的任何非均匀性非常敏感。通常建议防止这种不均匀性，并且在频域中对声学进行谐波分析时，更容易估计网格中危险的不均匀性的大小。在时域气动声学模拟中，由于湍流中涡旋噪声的宽带特性，网格质量准则的估计并不容易。尺度分解模拟通常将波动分解为网格单元大小，而如何估计网格非均匀性的危险大小可能并不明显。由于短波在这种非均匀性下的反射和色散，气动声学时域模拟结果往往在频谱的高频部分不够准确。这些误差可以通过使用本节下面描述的数值程序来减少。尽管如此，气动声学模拟的网格质量要求高于类似结构中不可压缩流模拟的网格质量要求。建议预先估计感兴趣的频率范围，并在该范围内为每个波长分配12个或更多的计算网格。

3.2 声源项的滤波

采用两种滤波器在空间和时间上平滑方程（1）的源项：空间中的二阶显式线性滤波器抑制奇偶空间振荡，时间上的高阶显式滤波器抑制源谱中的高频部分。空间滤波器始终处于激活状态，并且只能通过改变rp变量来关闭。至于时间过滤器，有一个图形和文本用户界面来激活或取消激活它。建议保持时间过滤器处于活动状态，这在Fluent中是默认设置。

3.3 声源项的时间渐变与空间掩蔽

声学波动方程模型应当在建立好随时间变化的流动解之后激活。这意味着需要停止流动求解，然后在打开波动方程求解器的情况下继续求解。然而，突然激活波动方程中的声源项会产生很大程度的非物理解扰动，这种扰动可能会持续相当长时间。为了避免这种情况发生，在波动方程求解器中应用声源的缓慢渐变，持续时间由用户根据时间步数指定。估计这个持续时间的一个常见规则是使其等于一个或几个周期的低频声音。在渐变期间，源项被预先乘以一个因子，该因子在时间上从0平稳增长到1。

另一个提高求解质量的措施是限制（掩蔽）声源区域。它有两个目的：

• 只允许已精确求解的湍流区域的所需部分产生声音
• 平滑地减少掩蔽区域边界处的声源，以进一步提高求解质量。这是通过在0和1之间通过用户指定的过渡厚度平滑过渡遮罩标记来实现的。值为0表示模型源项在本地处于活动状态，值为1表示源项被完全屏蔽

3.4 海绵区域求解的人工粘性阻尼

在以下情况下，使用海绵区域（Sponge Region）有助于避免非物理声音反射：

• 在开放边界处，如果声波传播方向不垂直于边界表面，尽管使用了非反射边界条件，仍可能存在一些有限的反射
• 在大范围内，对网格单元尺寸在远离声源的方向上进行扩展是必要的。扩展网格层的反射，特别是来自内部网格界面的反射，可能会对声学计算结果产生负面影响。建议避免此类网格扩展和接口，这会在重要声音频率的声学区域内创建过于粗糙的网格。在这个区域之外，不规则网格应该被海绵区域覆盖。与声源遮蔽区域类似，海绵区域的边界使用用户指定的过渡厚度

波动方程解的阻尼是通过加入一个与物理粘性项形式相同的人工粘性项来实现的。根据局部网格分辨率选择人工粘性值。在用户指定的海绵区域内，使用默认无量纲人工粘性系数v=1的粘性项进行优化，以波长等于两个单元大小形成最有效的阻尼。如果需要较长波的更强阻尼，可以使用两个参数和增加人工粘性：

式中，为位置相关的海绵层标记，该参数值在0和1之间变化。

参数是人工粘性的一个基准参数，用于平滑声学区域内的所有解，这意味着海绵区域之外的区域也会受到该基准参数的阻尼影响。阻尼参数的默认值为和。

4 基尔霍夫积分

Fluent中的声波方程模型主要用于模拟声波在中场的传播。该范围内包括声源和非均匀流场，其中也可能存在导致声波反射的固体障碍物。在许多实际应用中，需要计算出远处目标位置的感知声信号。声音在流体是静止或均匀运动的开放空间中的传播，可以使用Kirchhoff面积分来计算。

4.1 兼容性和局限性

基尔霍夫积分模型是波动方程模型的补充模型，其可以应用于任何使用波动方程模型的场合。适用于背景流动不会引起介质密度变化的瞬态单相流模拟(建议采用定密度流体模型)。

与波动方程模型的局限性相对应的Kirchhoff模型的局限性包括：

• 不包含对流效应，这意味着远场流体必须是静止的
• 不支持运动的积分面

其它使用限制还包括：

• 只实现了一个三维变量
• 只有一个曲面可以用于积分，复杂曲面可以构造为相应定义的标量场的等值面
• 不支持周期性
• 不支持运动的接收器
• 该模型仅适用于“on-the-fly”模式，这意味着在每个时间步后的瞬态模拟过程中计算下一组信号样本。目前还没有“读取和计算”模式（如Ffowcs Williams和Hawkings模型可以在模拟过程中导出瞬态数据）。Fluent在模拟结束后执行单个后处理操作，以计算从声源到远程接收器的声音传播

4.2 数学模型

由于波动方程模型的线性特性及其Kirchhoff积分特性，任何声场变量都可以写成面积分的形式。由于目前实现的波动方程模型以声势为主要变量，基尔霍夫积分直接应用于声势：

其中和是接收器坐标和接收时间，是发射（延迟）时间，是积分面上某个位置到接收器的距离，为指向接收器的单位矢量，是外表面单位法向量，是声速。积分曲面的每个基本面在其自身的延迟时间内对积分有贡献。方程式(4)中在用户指定的曲面上进行积分，该曲面理论上必须闭合。然而，在实践中，非闭合积分曲面适用于基尔霍夫声源（方程式4中积分下的函数）未知或可忽略的情况。一个例子是没有端面的长圆柱表面，用来计算横流中长圆柱产生的声音。另一个例子是放置在管道或管道出口周围的球形表面，以计算从孔板发出的声音。在后一种情况下，被管道或管道覆盖的球体的一部分在积分中被省略。

在所有接收器的预期持续时间内积累了声势样本后，每个接收器的声压信号通过下式计算得到：