本文介绍DPM模型及颗粒运动方程。

注：本文内容取自Fluent Theory Guide。不同的软件对于颗粒运动的处理方式可能有所不同。

1 Euler-Lagrange方法

Fluent中的DPM模型采用欧拉-拉格朗日方法。流体相作为连续介质通过求解Navier-Stokes方程，而颗粒相通过跟踪大量的颗粒、气泡或液滴运动轨迹来求解。颗粒相可以与流体相之间可以交换动量、质量以及能量。当颗粒相在流场区域中所占的体积分数足够小时，颗粒与颗粒之间的相互作用可以忽略，此时利用DPM方法跟踪颗粒运动轨迹变得相当简单。在连续相计算过程中，气泡、固体颗粒或液滴等颗粒相的运动轨迹在指定的时间间隔内单独计算。

1.1 颗粒体积分数限制

Fluent采用的离散相模型假设颗粒间相互作用以及颗粒体积分数对连续相的影响可以忽略不计。在实际应用中，这意味着离散相在计算区域中的体积分数必须足够小，通常小于10~12%。必须要注意的是，在模拟计算中，颗粒的质量分数完全可以超过10~12%，可以在Fluent中求解离散相质量流量等于或超过连续相质量流量的问题。

DPM模型的一些变体可以忽略这一限制，比如Fluent中的稠密离散相模型（DDPM）考虑了颗粒之间的摩擦以及颗粒体积分数对连续性流场的影响，这使得计算的颗粒体积分数可以达到颗粒堆积极限。当喷雾液滴的局部浓度很高时，液滴之间会产生碰撞和凝聚，这些现象可以在一些喷雾模型中加以考虑。

若需要考虑颗粒与颗粒之间的相互摩擦作用，可以使用DEM模型。

1.2 连续悬浮颗粒模拟的限制

稳态DPM模型适用于颗粒注入具有明确进出口条件的连续流场的情况，无法有效地模拟模拟无限期地悬浮在连续介质中的流场，如封闭系统（搅拌槽、混合容器或流化床）中的固体颗粒。此时应当使用瞬态离散相模型进行模拟。

1.3 颗粒旋转模拟的限制

当使用旋转粒子时，请注意以下限制：

• 在启用 stochastic particle collision模型(包括碰撞和液滴凝聚)的模拟中，粒子旋转不受粒子/粒子碰撞的影响。
• 无质量颗粒无法考虑颗粒旋转
• 颗粒旋转与运动参考系模型不兼容
• 对于atomizer入射器，颗粒初始化角速度设置为零
• DPM耦合模拟中无法考虑马格努斯升力对连续相的影响

1.4 DPM模型与Fluent其他模型同时使用的限制

当使用DPM模型时，存在与其他模型的一些限制，包括：

• 当DPM模型与其他任何多相流模型（VOF、Mixture或Eulerian）同时使用时，不能使用Shared Memory方法，此时只能使用Message Passing或Hybrid方法
• 当DPM模型与欧拉多相模型同时使用时，颗粒的阻力、热以及质量传递仅依赖于主相，同样任何DPM相关的源项都作用于主相，无法考虑相对于次相的粒子跟踪
• 在耦合模拟中不能用稳态DPM模型来模拟周期性流动（无论是指定质量流量还是指定压降），此时只能使用瞬态DPM模型
• 当采用预混燃烧模型时，只能包含不参与化学反应的颗粒
• 当使用滑移网格或运动/变形网格时，Surface入射器会随网格一起运动，但是只有与边界相关联的面会重新计算。从Cut Plane面生成的入射器不会随网格一起运动，且在网格重构时会被删除
• cloud模型不能在非稳态DPM中使用，并且不允许使用Message Passing或Hybrid方法
• 壁膜模型仅适用于液体材料。如果非液体颗粒与壁膜边界相互作用，边界条件默认为反射边界条件
• 当多参考系模型与离散相模型一起使用时，粒子轨迹的显示在默认情况下是没有意义的，同样离散相耦合计算也没有意义。若DPM模型一定要与MRF模型一起使用，此时应该基于绝对速度来跟踪颗粒，可以使用TUI命令define/models/dpm/options/track-in-absolute-frame来实现。
• 若在DPM模型中使用滑移和/或变形网格，颗粒将始终在绝对参考中被跟踪

1.5 Lagrangian壁膜模型的局限性

• Lagrangian壁膜模型只能用于Unsteady Particle Tracking
• 拉格朗日壁膜模型与壁面悬挂节点细化方法不兼容
• 壁膜模型假设粒子为液体颗粒。如果惰性粒子与壁膜边界相互作用，在壁膜模型计算中假定其为液体。对于combusting颗粒，在启用Wet Combustion Model时，只要颗粒中的液相分数不为零，就采用壁膜模型。若干燥的燃烧颗粒与壁膜边界相互作用，其会粘附在壁面上，并遵循燃烧粒子相关定律
• 壁膜模型与Rosseland辐射模型不兼容
• 在壁膜边界条件下，Workpile Algorithm选项不可用。当选择在壁面上模拟墙膜时，该选项将自动被禁用
• 在Trap边界上，壁膜颗粒在壁面上被吸收，同时释放动量、能量及组分
• 在symmetry边界上，壁膜颗粒被反弹

2 颗粒运动方程

DPM模型在流场中的受力遵循牛顿第二定律。

2.1 颗粒力平衡

Fluent通过对离散相粒子(液滴或气泡)上的力平衡积分来预测其运动轨迹，该力平衡在拉格朗日坐标系进行描述。力平衡方程可以写成：

式中，为颗粒的质量；为连续相的速度；为颗粒速度；为连续相的密度；为颗粒的密度；为附加力；为颗粒阻力（曳力）；为颗粒的弛豫时间1^[1]：

式中，为连续相的分子粘度；为颗粒直径；Re为相对雷诺数，其定义为：

2.2 颗粒力矩平衡

粒子旋转对其在流体中的运动轨迹有重要影响，对于具有高转动惯量的大的和/或重的粒子，这种影响更为明显。在这种情况下，若在模拟中忽略了粒子的旋转，得到的粒子轨迹可能与实际轨迹有显著差异。为考虑粒子的旋转，需要求解一个关于角动量的常微分方程(ODE)：

式中，为颗粒的转动惯量；为颗粒的角速度；为流体的密度；为颗粒直径；为旋转阻力系数；为作用在颗粒上的力矩；为相对颗粒-流体角速度，计算为：

对于球形颗粒，其转动惯量可以通过下式进行计算：

2.3 颗粒的重力

方程（1）中包含了颗粒的重力，不过Fluent中默认情况下设置重力加速度为零，如果想要考虑颗粒的重力，需要设置重力加速度。

2.4 虚质量力

颗粒周围流体加速运动时作用在颗粒上的附加力为虚质量力（Virtual Force），其可表达为：

式中，为虚质量系数，默认值为0.5。

2.5 压力梯度力

流体压力梯度作用在颗粒上的附加力为压力梯度力(Pressure Gradient Force)，其表示为：

当流体的密度远低于颗粒的密度时（例如气体中的液滴或固体颗粒），虚质量力与压力梯度力可以忽略不计。而当流体密度与颗粒密度之比接近于1时，虚质量力与压力梯度力不可忽略。建议在密度比大于0.1时考虑虚质量力与压力梯度力。

2.6 热泳力

在存在温度梯度的气体中悬浮的小颗粒受到的力与温度梯度方向相反。这种现象被称为热泳。Fluent可以在附加力中加入对粒子的热泳效应：

式中，为热泳系数，可以将系数定义为常数、多项式或用户定义函数，也可以使用Talbot建议的形式^[2]。

其中，为Knudsen数，，为流体的平均自由程；，为流体热导率；为颗粒热导率；；；；为当地流体温度；为流体粘度。

此表达式假设颗粒为球体，流体为理想气体。

2.7 Brownian力

对于亚微尺度的粒子，需要考虑布朗运动的影响。将布朗力的分量建模为谱强度为的高斯白噪声过程^[3]：

式中，为Kronecker 函数，且有：

式中，为流体的绝对温度；为流体的运动粘度；为Cunningham修正系数；为Boltzmann常数。布朗力分量的幅值定义为：

式中，为均值为零，与单位方差无关的高斯随机数。在每个时间步长计算布朗力分量的幅值。为了使布朗力起作用，必须激活能量方程。布朗力只适用于层流模拟。

2.8 Saffman升力

Fluent也可以考虑Saffman的升力或由于剪切作用而产生的升力。Saffman升力表达形式^[4]：

式中，，为变形张量。这种形式的升力适用于小颗粒雷诺数，且只适用于亚微尺度颗粒。

2.9 Magnus升力

当颗粒在流体中旋转时会产生马格努斯力或旋转升力，此升力由沿粒子表面的压力差引起^[5]。

对于高雷诺数情况下，马格努斯力可表示为：

式中，为颗粒投影面积；为流体-颗粒相对速度；为流体-颗粒的相对角速度。

对于旋转升力系数，文献中给出了不同的计算方法。Fluent中包含下面的几种方法：

• Oesterle and Bui Dinh^[6]

旋转升力系数依赖于旋转雷诺数与颗粒雷诺数：

此公式在时与实验值吻合较好。

• Tsuji et al^[7]

旋转升力系数定义为自旋参数的函数：

自旋参数定义为：

此公式在时广泛采用。

• Rubinow and Keller^[8]

将旋转升力系数定义为自旋参数的线性函数：

此模型可以用于学术研究中作为对比。

参考资料