1 松弛迭代法求解方程组

考虑线性方程组：

采用Gauss-Seidel迭代法将前面的方程组改写成迭代式：

程序代码可写成：

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#seidel 迭代法求根def f(x1,x2,x3,count=1):     y1=0.1*x2+0.2*x3+7.2     y2=0.1*y1+0.2*x3+8.3     y3=0.2*y1+0.2*y2+8.4     if max(abs(y1-x1), abs(y2-x2), abs(y3-x3))<0.0001:           #设定精度为0.0001           print('最终结果：%.4f、%.4f和%.4f' %(y1,y2,y3))     else:           print('第%s次迭代：%.4f、%.4f和%.4f' %(count, y1,y2,y3))           x1,x2,x3,count=y1,y2,y3,count+1           return f(x1,x2,x3,count)f(3,5,5)

输出结果为：

第1次迭代：8.7000、10.1700和12.1740

第2次迭代：10.6518、11.8000和12.8904

第3次迭代：10.9581、11.9739和12.9864

第4次迭代：10.9947、11.9967和12.9983

第5次迭代：10.9993、11.9996和12.9998

第6次迭代：10.9999、11.9999和13.0000

最终结果：11.0000、12.0000和13.0000

可看出结果6次迭代计算收敛，得到解为（11,12,13）。

松弛迭代可以看成是高斯-赛德尔迭代的改进。一种简单的松弛迭代形式为：

小白：从松弛迭代形式可以看出，当计算收敛时，计算结果是不依赖于松弛因子w的取值的，因为当计算收敛时，括号中的值为零。

对应的程序代码：

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#sor迭代法# -*- coding: utf-8 -*-#def f(x1, x2, x3, w=1, count=1):   y1 = x1-w*(x1-0.1*x2-0.2*x3-7.2)   y2 = x2-w*(-0.1*y1+x2-0.2*x3-8.3)   y3 = x3-w*(-0.2*y1 -0.2 *y2+x3-8.4)   if max(abs(y1-x1), abs(y2-x2), abs(y3-x3)) < 0.0001:       # 设定精度为0.0001       print('最终计算结果：%.4f、%.4f和%.4f' % (y1, y2, y3))   else:       print('第%s次迭代：%.4f、%.4f和%.4f' % (count, y1, y2, y3))       x1, x2, x3, count = y1, y2, y3, count+1       return f(x1, x2, x3, w, count)f(3,5,5,1) #设置松弛因子为1

运行后输出：

第1次迭代：8.7000、10.1700和12.1740

第2次迭代：10.6518、11.8000和12.8904

第3次迭代：10.9581、11.9739和12.9864

第4次迭代：10.9947、11.9967和12.9983

第5次迭代：10.9993、11.9996和12.9998

第6次迭代：10.9999、11.9999和13.0000

最终计算结果：11.0000、12.0000和13.0000

可看到输出结果与赛德尔迭代完全相同。

注：松弛迭代法中，当松弛因子w=1时，即为高斯-赛德尔迭代；w>1时为超松弛迭代；w<1时为亚松弛迭代。

下面改变松弛因子看看有什么不同，验证结果如下表所示。

松弛因子	达到收敛时迭代次数
0.001	不收敛
0.01	952
0.1	124
0.5	23
0.75	13
1.0	6
1.25	9
1.5	18
1.75	41
2.0	不收敛

可以看到，不同的松弛因子会影响收敛的次数。

小白：在这个方程组中，松弛因子为1时收敛性表现最好。但要注意并非所有情况下都是松弛因子为1时收敛性最好。关于松弛因子与收敛性间的关系，可参阅任何一本数值分析教材。松弛因子并非越小越好，也并非越大越好，在实际计算过程中，需要根据收敛性来调整松弛因子的值。在一些方程组求解过程中，可能会出现迭代算法不稳定的情况，此时可以利用松弛因子控制方程的稳定性。